阅读与思考 集合中元素的个数公开课教案（教学设计）

1.椭圆的焦点三角形：已知F1,F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上任意一点

（1）F1PF2周长为2(ac)；

（2）SF1PF2b2tanF1PF2

2（3）PF1minac,PF1maxac

x2◆

已知双曲线2y21(a0)的两个焦点分别为F1，F2，P为双曲线上的一点，a且F1PF260，则|PF1||PF2|的值为

，

SF1PF2

x2y2◆

双曲线221(a0,b0)，过焦点F1的直线与双曲线交于同一支上两点abA,B，若|AB|m，则ABF2的周长为

4a2m

x2y21上一点，F1,F2是椭圆的两个焦点

◆

设P是椭圆94（1）若AB是过焦点F1的弦，则ABF2的周长为

（12）

（2）椭圆上的点到短轴端点的最远距离是

9

5（3）使得F1PF2为直角的点P有

4

个，此时F1PF2的面积为

（4）

（4）使得F1PF2为钝角的点P的横坐标的取值范围是

33x

55◆

已知F1，F2是椭圆的两焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2=60°，求该椭圆的离心率为e的取值范围。若∠F1PF2=90°呢？∠F1PF2的最大值是锐角呢？∠F1PF2为钝角呢？

2221答案：[,1)；[,1)；(0,)；(,1)

2222

→·→变式：已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1MF2＝0的点M总在椭圆内部，求椭圆离心率的取值范围.

(cb0e2)

2

x2y2★

P是双曲线221

（a＞0，b＞0）上的一点，F1

，F2是其焦点，双曲ab线的离心率是变式：

5

，且∠F1PF2 = 90°，若△F1PF2的面积是9 ，求a + b的值。

4x2y21．已知点A，F分别是椭圆221(a>b>0)的右顶点和左焦点，点B为

ab椭圆短轴的一个端点，若BFBA0，则椭圆的离心率e为

。

1152A．(51)B．(31)C．D．

222

2

x2y22．如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆

a2＋b2＝1 (a>b>0)上一点，若15PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝2，则此椭圆的离心率是_______．

3x2y2★

已知P是以F1

、F2为焦点的双曲线221

（a＞0，b＞0）上的一点，ab1PF1⊥PF2

，且tg∠PF1F2 =

，则此双曲线的离心率e=

。

2答案：5

3．若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1，F2分别是它们的左、右焦点，设椭圆离心率为e1，双曲线离心率为e2．若PF1PF20，则(

)．

A．1

B．2

C．3 分析：B

D．4 11e12e22x2y24．设M为椭圆2+2=1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，如果ab

MF1F275，MF2F115，则椭圆的离心率为

分析：62c2csin90。

e

32ar1r2sin15sin75x2y2★

设双曲线221的左、右焦分别为F1、F2，若双曲线上存在点A，使得abF1AF290,|AF1|3|AF2|，则双曲线的离心率是

（10）

2x2y2◆

已知点F1,F2分别是椭圆221的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线ab与椭圆交于A,B两点，若ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e为 。

b233分析1（通径公式）：由

atan30

得

2ac3(a2c2)

，解得

e =

32c3AF1AF22a3分析2（三角形边角关系）：由



，解得

e =

AF13tan302c分析3（勾股定理）：由ABF2为正三角形知AF2F130，则AF22AF1，

3AF2AF12a由椭圆定义及勾股定理得



，

解得

e =

2223AF2AF1(2c)评注：求离心率的关键在与寻找a和c的关系。

变形1：把“椭圆”改为“双曲线”，离心率e =

3

。

变形2：把“ABF2为正三角形”改为“ABF2为锐角三角形”，则

e =(0,21)

x2y2变形3：

已知点F1、F2分别是双曲线221的左、右焦点，过F1且垂直于xab轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是

(1,12)，若ABF2为等腰直角三角形，则离心率e=21.

x2y2★

已知点F是双曲线221(a0,b0)的左焦点，点E是该双曲线的右ab顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（

）

A．（1，+）

B．（1，2）

C．（1，1+2）

D．（2，1+2）

变形：若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（2，+∞）. 分析：由∠AEB > 90°得∠AEF > 45°，所以tan∠AEF > tan45°，

b2a1，

又c2 = a2 + b2，解得

e∈（2，+∞）

acx2y2★

设双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别是F1、F2，过点F2的直线ab交双曲线右支于不同的两点A、B．若△ABF1为正三角形，则该双曲线的离心率为

(A)6

(B)3

(C)2

(D) 3

3

答案：B AF1AF22a分析：，解得

e = AF2tan302c3

x2y2变式：已知双曲线

a2－b2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于A，B两点．若△ABF1是以B为顶点的等腰三角形，且△AF1F2，△BF1F2的面积之比S△AF1F2∶S△BF1F2＝2∶1，则双曲线的离心率为____．

答案：21

3分析：（利用双曲线的定义和余弦定理求解）

∵

△ABF1是以B为顶点的等腰三角形，∴

BF1 = BA = BF2+AF2

∴

AF2 = BF1－BF2 = 2a ，AF1 = AF2 +2a = 4a ∵S△AF1F2∶S△BF1F2＝AF2∶BF2 = 2∶1，

∴

BF2 = a ，BF1 = BF2 + 2a = 3a

(BA)2+(BF1)2－(AF1)2(BF2)2+(BF1)2－(F1F2)2cos∠F1BF2 =

=

2·(BA)·(BF1)2·(BF2)·(BF1)(3a)2+(3a)2－(4a)2(3a)2+a2－(4c)2∴

=

2·(3a)·(3a)2·(3a)·ac21解得

e = a

= 3

变式：

x2y21．双曲线221(a0,b0)的两个焦点分别是F1,F2，以线段F1F2为边作正ab三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，该双曲线的离心率是（

D ）

A 423

B

变式：

x2

y21．如图，F1和F2分别是椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为31

C 31

D 231

圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为

.

1分析1：∵△F2AB是等边三角形，∴∠AF2O = 30°，∴|AF1 |= 2F1F2=c

在Rt△A F1F2中，

|AF2| =(2c)2c23c，

|A F1|+ |AF2| = c +3c=2a，∴e31

1分析2：|AF1 |= F1F2=c 2AF22R2c得AF22csin60，

由sin60|A F1|+ |AF2| = c +3c=2a，∴e31

2．以椭圆的右焦点F２为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F１，且直线ＭＦ１与此圆相切，则椭圆的离心率e为（

）

2A．2

答案：D 3B．2

C ．2－3 D．3－１

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A1、A2、B1、B2为椭圆x2y21(ab0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2a2b2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为

。

分析：本题考查椭圆的基本性质（顶点、焦点坐标，离心率的计算等）以及直线的方程。

直线A1B2的方程为：xy1；

abxy2acb(ac)1。二者联立解得：T(,)，

直线B1F的方程为：cbacac

x2y2acb(ac),)在椭圆221(ab0)上，

则M(abac2(ac)c2(ac)22221,c10ac3a0,e10e30，

22(ac)4(ac)解得：e275

◆

已知F1是椭圆的左焦点，A、B分别是椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率

x2y2变式1：已知F1，F2是椭圆

a2＋b2＝1 (a>b>0)的左，右焦点，A，B分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，OP∥AB，PF1⊥x轴，|F1A|＝10＋5，求此椭圆方程的离心率．

x2y2变式2：已知椭圆221(ab0)与x轴的正半轴交于点A,O是原点，若椭ab圆上存在一点M，使得MAMO，求椭圆的离心率e的取值范围。

思路：根据点M满足的条件，可列出点M的坐标应该满足的关系式，消元可得关于M点的坐标的一元二次方程，存在点M，即此方程有区间(0,a)上的根。

练习：

x2y21．已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点B在椭圆上，ab且BF1x轴，直线BF2的倾斜角为150，则椭圆的离心率是

（3）

3

x2y2★

已知双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2，过点F1作倾斜ab角为30的直线交双曲线的右支于点M，若MF2x轴，则双曲线的离心率是

3r22c答案：3

e

2a2r2r2

2b2评注：在椭圆和双曲线中，经过焦点且垂直于焦点所在轴的弦称为通径，长

ax2y22．已知椭圆221(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，ab且BFx轴，直线AB交y轴于点P．若AP2PB，则椭圆的离心率是（D）

A．3211

B．

C．

D．32

22

分析：AOOFAPPB，a12，所以e

c2★

过双曲线的左顶点A作斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线交于B,C两点，若AC2BC，则双曲线的离心率是

（10）

分析：由AC2BC可知，xCxA2(xCxB)

，即2xBxAxC

b求出过点A(a,0)斜率为1的直线方程yxa，与两条渐近线yx的交点横aa2a2,坐标分别为，将A,B,C三点的横坐标代入2xBxAxC，可得abba

b2b3a．e12．

ax2y23．方程为a2＋b2＝1 (a>b>0)的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D→＝DA→＋2DF→，则该椭圆的离心率为_____．

是它短轴上的一个端点，若3DF121分析：5

→＝DA→＋2DF→

，

(DF→－DA→) = 2(2DF→－DF→)，

3DF121211→→AF1

= 2F1F2，

(a－c) = 2(2c) ，

e = 5

x2y24．已知椭圆

4＋b2＝1 (0 < b < 2)的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭→| + |AF→| 的最大值为5，则椭圆的离心率为

圆于A，B两点，若

|BF22112A．4

B．2

C．2

D．3

分析：|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=|AB|+(|AF2|+|BF2|)=4×2=8 →| + |AF→|)=5，所以

|AB|=3 因为

(|BF22maxmin2b22b2此时AB为通径，a

= 2

= 3，b = 3 c1所以椭圆离心率为

a

= 2

→| + |AF→|)取最大值时|AB|必取最小值，此【评注】|AB|+(|AF2|+|BF2|)为定值，(|BF22时AB为椭圆的通径（过焦点的最小弦），由此可以求出b，使问题得以解决。

x2y2★

已知双曲线221的左、右焦点分别为F1,F2，点P是双曲线的右支上一ab点，且|PF1|4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为

分析：|PF1||PF2|3|PF2|2a，|PF1|ca，

5所以

3|PF2|3(ca)，解得e的最大值为

35

3评注：双曲线上右支上的点到焦点的距离的最小值为右顶点到右焦点的距离

ca，其余点到右焦点的距离均大于该值。

变式：

1．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线过点(4,2)，则双曲线的离心率是

5（焦点在x上）5（焦点在y轴上）

21分析：经过原点及点（4，－2）的直线方程为yx。

2焦点在x轴上时，b1a1；焦点在y轴上时，。

a2b2x2y22．双曲线221(a1,b0)的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），ab且点（1，0）到直线l的距离与点(1,0)到直线l的距离之和s的离心率e的取值范围。

4c，求双曲线5xy分析：经过（a，0）和（0，b）的直线方程为1，即bxayab0。

ab利用点到直线的距离公式可得|bab||bab|4c，而a1，所以

cc52ab42c,5ab2c2，而b2c2a2，所以4c425a2c225a40，所以

55e5。

24e425e2250，解得x2y23．设双曲线

221（a＞0，b＞0）的一条准线与两条渐近线交于A、B两ab点，相应的焦点为F，若以AB为直径的圆恰过F点，则双曲线的离心率为（

A ）

（A）2

（B）3

（C）2

（D）23

34．如图，已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E在线段AC上，且AEEC

，双曲线过点C、D、E三点，

且以A、B为焦点，当答案：7,10

23时，求双曲线的离心率e的取值范围。

34解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，

直线AB为x轴，建立直角坐标系xoy，则CD⊥y轴．

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，

由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称．

c1依题意，记A(－c，0)，C(，h)，E(x0，

y0)，其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h2h是梯形的高．

cc2= (2)c，yh．

由定比分点坐标公式得

x0=012(1)1x2y2c设双曲线的方程为221，则离心率e. aab由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和ec代入双曲线方程得

ae2h221，

①

4be2422h21．

②

11b22h2e21，

③

由①式得

24be24412，

将③式代入②式，整理得

43．

2e223233．

由题设



得

12343e24故

1解得

7e10．

所以双曲线的离心率的取值范围为[7，10]．