阅读与思考 集合中元素的个数公开课参赛课教案

第1节

集

合

考试要求

1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.

知

识

梳

理

1.元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系

(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A. (2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AA. (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算

符号表示

集合的并集

A∪B 集合的交集

A∩B 集合的补集

若全集为U，则集

B或B

合A的补集为∁UA

图形表示

集合表示

4.集合的运算性质

(1)A∩A＝A，A∩(2)A∪A＝A，A∪(3)A∩(∁UA)＝[微点提醒] 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个. 2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C. 3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 基

础

自

测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(

) (2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(

) (3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.(

) (4)含有n个元素的集合有2n个真子集.(

) 解析

(1)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集. (2)错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性. (4)错误.含有n个元素的集合有2n－1个真子集. 答案

(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

2.(必修1P12A5改编)若集合P＝{x∈N|x≤2 019}，a＝22，则(

) A.a∈P

B.{a}∈P

{x|x∈A，或x∈B}

{x|x∈A，且x∈B}

{x|x∈U，且x∉A} ＝，A∩B＝B∩A. ＝A，A∪B＝B∪A. ，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.

C.{a}⊆P

D.a∉P

解析

因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于2 019的自然数构成的集合，所以a∉P，只有D正确. 答案

D 3.(必修1P12B1改编)已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合M∪N的子集的个数为________. 解析

由已知得M∪N＝{0，1，2，3，4，5}，所以M∪N的子集有26＝64(个). 答案

64

4.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝(

) A.{x|－1

C.{x|x<－1}∪{x|x>2}

B.{x|－1≤x≤2} D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2} 解析

法一

A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}. 法二

因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}. 答案

B 5.(2019·菏泽模拟)若A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则集合A与B的关系是A________B. 解析

因为集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，所以B表示奇数集，A表示除以4余1的整数集，所以A答案

B. 6.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B中元素的个数为________. 解析

集合A表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合，集合B表示直线y＝x上所有点的集合，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素. 答案

2

考点一

集合的基本概念

【例1】

(1)(2019·湖北四地七校联考)若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则(

) A.M＝N

C.M∩N＝

B.M⊆N

D.N⊆M

11(2)若x∈A，则x∈A，就称A是“伙伴关系”集合，集合M＝－1，0，2，2，3的所有非空子集中具有“伙伴关系”的集合的个数是(

) A.1

B.3

C.7

D.31 解析

(1)易知M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝{y|0≤y≤1}，∴N⊆M. 1(2)具有伙伴关系的元素组是－1，2，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－111}，2，2，－1，2，2. 答案

(1)D

(2)B 规律方法

1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义. 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 【训练1】

(1)(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(

) A.9

B.8

C.5

D.4 (2)设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围为________. 解析

(1)由题意知A＝{(－1，0)，(0，0)，(1，0)，(0，－1)，(0，1)，(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}，故集合A中共有9个元素. 2（2－a）<1，1

2（3－a）≥1，a≤2或a≥4.所以1

(1)A

(2)(1，2] 考点二

集合间的基本关系

【例2】

(1)已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则(

) A.AB

B.BA

C.A⊆B

D.B＝A

(2)(2019·杭州调研)已知集合A＝{x|x2－5x－14≤0}，集合B＝{x|m＋1

(1)易知A＝{x|－1≤x≤1}，

所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}. 因此BA. (2)A＝{x|x2－5x－14≤0}＝{x|－2≤x≤7}. 当B＝时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠时，若B⊆A，如图.

m＋1≥－2，则2m－1≤7，

m＋1<2m－1，解得2

(1)B

(2)(－∞，4] 规律方法

1.若B⊆A，应分B＝和B≠两种情况讨论. 2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解. 【训练2】

(1)(2019·青岛质检)设集合M＝{x|xA.MN

B.N21－x>0}，N＝xx<1，则(



) M

C.M＝N

D.M∪N＝R

(2)若将本例(2)的集合A改为A＝{x|x2－5x－14>0}.其它条件不变，则m的取值范围是________.

1解析

(1)集合M＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，N＝xx<1＝{x|x>1或x<0}，所以M＝N. (2)A＝{x|x2－5x－14>0}＝{x|x<－2或x>7}. 当B＝时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠时，若B⊆A，

m＋1<2m－1，m＋1<2m－1，则或

m＋1≥72m－1≤－2.解之得m≥6. 综上可知，实数m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞). 答案

(1)C

(2)(－∞，2]∪[6，＋∞) 考点三

集合的运算

角度1

集合的基本运算

【例3－1】

(1)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(

) 3A.A∩B＝xx<2

3C.A∪B＝xx<2

多维探究

B.A∩B＝

D.A∪B＝R

(2)(2018·天津卷)设全集为R，集合A＝{x|0

) A.{x|0

C.{x|1≤x<2}

解析

(1)因为

B.{x|00}＝xx<2，A＝{x|x<2}，所以A∪B＝{x|x<2}. (2)因为B＝{x|x≥1}，所以∁RB＝{x|x<1}，因为A＝{x|0

(1)A

(2)B 角度2

抽象集合的运算

【例3－2】

设U为全集，A，B是其两个子集，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝”的(

)

A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

由图可知，若“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”，则一定有“A∩B＝”；反过来，若“A∩B＝”，则一定能找到集合C，使A⊆C且B⊆∁UC.

答案

C 角度3

集合的新定义问题

【例3－3】

若集合A具有以下性质：

(ⅰ)0∈A，1∈A；

1(ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，x∈A. 则称集合A是“好集”.给出下列说法：①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q是“好集”；③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A. 其中，正确说法的个数是(

) A.0

B.1

C.2

D.3 解析

①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾；②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，11∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，x∈Q，所以有理数集Q是“好集”；③因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A. 答案

C 规律方法

1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算. 2.注意数形结合思想的应用. (1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解. (2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.

(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口. 【训练3】

(1)(2019·延安模拟)若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为(

)

A.{－1，0，1}

C.{－1，1}

B.{－1，0} D.{0} (2)已知集合A＝{x|x2－x≤0}，B＝{x|a－1≤x

) A.0

B.1

C.2

D.1或2 解析

(1)B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为∁U(A∪B).A∪B＝{－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{0}. (2)易知A＝[0，1]，因为A∩B只有一个元素，所以a－1＝1，解得a＝2. 答案

(1)D

(2)C

[思维升华] 1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到. 3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现. [易错防范] 1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解. 3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系. 4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.

基础巩固题组

(建议用时：30分钟) 一、选择题

1.(2018·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝(

) A.{0}

B.{1}

C.{1，2}

D.{0，1，2} 解析

由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1，2}. 答案

C 2.(2019·滨州模拟)设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为(

) A.3

B.4

C.5

D.6 解析

因为A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，

又M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，

∴M＝{5，6，7，8}，即M中有4个元素. 答案

B 3.(2019·日照质检)已知全集U＝{0，1，2，3，4}，若A＝{0，2，3}，B＝{2，3，4}，则(∁UA)∩(∁UB)＝(

) A.

B.{1}

C.{0，2}

D.{1，4} 解析

因为全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{0，2，3}，B＝{2，3，4}，所以∁UA＝{1，4}，∁UB＝{0，1}，因此(∁UA)∩(∁UB)＝{1}. 答案

B 4.设集合A＝{x|－1

)

A.(∁RA)∩B＝{x|x<－1} B.A∩B＝{x|－1

易求∁RA＝{x|x≤－1或x>2}，∁RB＝{x|x≥0}，

∴(∁R A)∩B＝{x|x≤－1}，A项不正确. A∩B＝{x|－1

B 5.已知集合A＝{x∈N|x2－2x－8≤0}，B＝{x|2x≥8}，则集合A∩B的子集的个数为(

) A.1

B.2

C.3

D.4 解析

因为A＝{x∈N|x2－2x－8≤0}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x≥3}，所以A∩B＝{3，4}，所以集合A∩B的子集个数为4. 答案

D 6.已知集合M＝{x|y＝x－1}，N＝{x|y＝log2(2－x)}，则∁R (M∩N)＝(

) A.[1，2)

C.[0，1]

B.(－∞，1)∪[2，＋∞) D.(－∞，0)∪[2，＋∞) 解析

由题意可得M＝{x|x≥1}，N＝{x|x<2}，∴M∩N＝{x|1≤x<2}，∴∁R

(M∩N)＝{x|x<1或x≥2}. 答案

B 7.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是(

) A.0

B.1

C.2

D.3

x＋y＝1，x＝2，解析

由得

x－y＝3，y＝－1，∴A∩B＝{(2，－1)}. 由M⊆(A∩B)，知M＝答案

C 或M＝{(2，－1)}.

8.(一题多解)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围为(

) A.(0，1]

C.(0，1)

B.[1，＋∞) D.(1，＋∞) 解析

法一

由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝{x|00}＝{x|0

法二

A＝{x|y＝lg(x－x2)＝{x|x－x2>0}＝{x|0

B 二、填空题

9.设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则(∁R S)∩T＝________. 解析

易知S＝{x|x≤2或x≥3}，

∴∁R S＝{x|2

因此(∁R S)∩T＝{x|2

{x|2

由A∩B＝{1}知，1∈B，又a2＋3≥3，则a＝1. 答案

1 11.(2019·济南质检)已知集合A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为________. 解析

∵A＝{1，3，4，7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，

∴B＝{3，7，9，15}，∴A∪B＝{1，3，4，7，9，15}，

∴集合A∪B中元素的个数为6. 答案

6

12.集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________. 解析

由题意知，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}＝{x|x(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>0}，则A－B＝{x|－1≤x＜0}. 答案

{x|－1≤x＜0} 能力提升题组

(建议用时：10分钟) 13.(2018·河南百校联盟联考)若集合A＝{x|y＝lg(3x－x2)}，B＝4yy＝1＋，x＋1，则x∈A A∩(∁R B)等于(

) C.(3，5)

D.(－2，－1) A.(0，2]

B.(2，3)

解析

由3x－x2>0，得0

4＝(2，5)，

y＝1＋，x∈A∴B＝yx＋1则∁R B＝(－∞，2]∪[5，＋∞)，故A∩(∁R B)＝(0，2]. 答案

A 14.已知集合A＝{x|y＝4－x2}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为(

) A.(－∞，－3]∪[2，＋∞)

C.[－2，1]

B.[－1，2] D.[2，＋∞) 解析

集合A＝{x|y＝4－x2}＝{x|－2≤x≤2}，因A∪B＝A，则B⊆A，又B≠a≥－2，，所以有所以－2≤a≤1. a＋1≤2，答案

C 15.已知集合A＝{(x，y)|x2＝4y}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B的真子集个数是________. 2x＝4y，x＝0，x＝4，解析

由得或即A∩B＝{(0，0)，(4，4)}，∴A∩B的y＝xy＝0y＝4，真子集个数为22－1＝3. 答案

3

16.

集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是________. 解析

易知A＝(－1，2)，B＝(－∞，1)，∴∁UB＝[1，＋∞)，A∩(∁UB)＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}. 答案

[1，2) 新高考创新预测

17.(多填题，答案不唯一型)若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的.请写出满足上述条件的一个有序数组(a，b，c，d)＝________，符合条件的全部有序数组(a，b，c，d)的个数是________. b＝3，b＝2，解析

显然①不可能正确，否则①②都正确；若②正确，则或c＝1，c＝1，d＝4，d＝4.a＝3，a＝2，a＝3，a＝4，b＝1，b＝1，b＝1，b＝1，若③正确，此时若④正确此时有所以符合条c＝2，c＝4，c＝4，c＝3，d＝4，d＝3，d＝2，d＝2.件的数组共6个. 答案

(3，2，1，4)(填一个正确的即可)

6 a＝2，a＝3，