小结教学设计

函数模型的应用举例教案

孝南高中

罗金霞

教学目标: 1.引导学生利用题中的数据及其蕴涵的关系建立数学模型，解决实际问题。

2.强化一次函数、分段函数，指数型函数在实际问题中的应用。

3.培养学生阅读图形及表格的能力。

4.让学生充分体会解决实际问题中建立函数型的过程。

教学重点：建立函数模型或根据给定函数模型解决实际题

教学难点：函数模型的体验

教学方法：导学法

教学过程：

一、

情境导入

天安门广场上的阅兵仪式给我们留下永久美好的印象，除此以外还有国庆晚会上空璀璨夺目的美丽烟花。其中的“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，其施放后的轨迹呈抛物线状。故烟花设计者可根据二次函数性质设定最佳的施放效果。由此可见，利用函数知识可以在很大程度上方便实际生活。类似的，生活中函数应用问题还有很多，那么今天我们就一起来学习一下函数在实际生活中的应用问题。

二、

例题讲解。

例1：小王开车前往天安门广场参观阅兵仪式，在到达广场前五小时的行

1

驶速率与时间的关系如图所示。 1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

2）假设这辆车的里程表在小王行驶这段路程前的读数为2004km，试建立其行驶这段路程时车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象。

3）当里程表读数为2179时，求行驶时间t.

90 80 70 60 50 40 30 20 10

0 1

2

3

4

5 解：（1）阴影部分的面积为

t/h

501801901751651360

阴影部分的面积表示小王在这5小时内行驶路程为360km。

（2）根据图1,有

2

（3 ）90(t-2)+2134=2179 得t=2.5(小时）

点评：本例是变量间具有确定性关系的问题，通过此例同学们应学会运用分段函数刻画实际问题的能力及看图识图的能力。

例2：

人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨（T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：yy0e

rty其中t表示经过的时间，0表示t＝0时的人口数，r表示3 人口的年平均增长率。

下表是1950～1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）

年1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 份

人55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207 数

（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；

（2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？

解：（1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1，r2，…，r9. 55196（1+r1）=56300.

可得1951年人口增长率r1≈0.0200.

同理可得： r2≈0.0210 r3≈0.0229 r4≈0.0250 r5≈0.0197 r6≈0.0223 r7≈0.0276 r8≈0.0222 r9≈0.0184 于是, 1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为

r=(r1+r2+…+r9)÷9≈ 0.0221 1951~1959年的人口增长模型为y55196e0.0221t

0.0221ty55196e(2)将y=130000代入得 t38.76 所以，如果按表的增长趋势，大约在1950年后的39年（即1989年）我国的人口就已达到13亿。



点评：通过例2的学习学生应学会根据给定的函数模型解决实际问

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题，并能够验证问题中的数据与所提供的数学模型是否吻合，同时能够利用模型进行预测。

rtyye0

三、课堂练习

自然状态下的人口增长模型：

1、已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36 亿，当时人口的年增长率为2.1% （1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？

0.003ty5e解：由题意得， (t∈N) 0.003te2，0.003t=ln2，t231 令y=10,

所以，1881年世界人口约为1650 年的2倍。

同理可知，2003年世界人口数约为1970年的2 倍。

（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72 亿。你对同样的模型得出的两个结果有什么看法？

解：根据实际情况，对1650年得到的结论，公式中的增长速度要小于实际的增长速度，而1970年得到的结论，公式中的增长速度要大于实际的增长速度，可见，近几十年，各国为控制人口的增长而采取了一定的措施，已经有一定成效。

2、电信局为了满足客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间关系如图所示（其中MN∥CD）。

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（1）分别求出方案A、B应付话费（元）与通话时间x（分钟）的函数表达式f(x)和g(x)；

（2）假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B、两种优惠方案？并说明理由。

解：（1）先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：

∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可；

当客户通话时间为0≤x＜200分钟，g(x) ＞ f(x)，故选择方案A；

当客户通话时间为x＞200分钟时，g(x)＜f(x)，故选方案B。

四、小结：

用函数知识解应用题的方法步骤：

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(1)正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键，

转化来源于对已知条件的综合分析，归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类。

(2)用相关的函数知识进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解。

(3)把计算获得的结果带回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结做答。

抽象概括

数学模型

实际问题

推理

演算

还原说明

实际问题的解

数学模型的解

五、作业：

课本习题3.2A组1、2

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