幂的乘方教案教学设计

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幂的乘方与积的乘方

1.了解幂的乘方与积的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.

2.经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的运算的意义,发展运算能力和有条理的表达能力.

1.在探索性质的过程中让学生经历观察、猜想、创新、交流、验证、归纳总结的过程.

2.在推理和运用的过程中,让学生理解“由特殊到一般,再到特殊”的思维方法和辩证的数学思想.

1.在探索和训练的过程中,培养学生细心严谨的学习态度、积极进取的探索精神及团结协作的良好品质.

2.引导学生自主探索,体验成功的快乐,增强对数学学习的兴趣,在轻松、和谐、有序的教学氛围中,培养学生健全的个性.

【重点】

幂的乘方、积的乘方的灵活应用.

【难点】

幂的乘方、积的乘方的逆运用.

第课时

学习幂的乘方的运算性质,进一步体会幂的运算的意义,并能解决实际问题.

经历探索幂的乘方运算性质的过程,发展推理能力和有条理的表达能力,提高解决问题的能力.

培养学习数学的兴趣,建立学习数学的信心,感受数学的内在美.

【重点】

幂的乘方性质的推导及幂的乘方的应用.

【难点】

幂的乘方性质的逆运用.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

预习教材P5~6.

导入一:

1.填空.

(1)(23)2=23×23=2(

); (2)(72)3=72×(

)×(

)=7(

(3)(a3)2=a3×(

)=a(

).

);

[过渡语]

同学们仔细观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数,想一想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系? 2.情境引入.

【课件展示】

地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和

102倍,它们的体积分别约是地球的多少倍?提示:球的体积公式是V=πr3,其中V是球的体积,r是球的半径

[处理方式]

让学生思考后,自己得出结论.

生:木星的体积是地球的103倍;太阳的体积为地球的(102)3倍.

师:那么你知道(102)3等于多少吗?102是幂的形式,因此我们把这样的运算叫做幂的乘方.这节课我们就来研究幂的第二个运算性质——幂的乘方.

[设计意图]

从地球、木星、太阳的半径关系入手,有效地激发了学生的学习兴趣,唤起了他们的求知欲望,从而顺利导入新课.

导入二:

[过渡语]

现有一个正方体,如果知道它的棱长是10,你可以求出它的体积吗? 生:可以,是103,也就是1000.

师:这个问题大家解决得很好,如果这个正方体的棱长为102,你可以求出它的体积吗? 生:可以,是106.

师:一个正方形的边长为103,你可以求出它的面积吗? 生:也是106.

师:为什么是这个结果呢? (学生思考2分钟,进行展示) 生:(102)3=(100)3=100×100×100=106.

(103)2=(1000)2=1000×1000=106.

师:这两个式子分别表示什么意义?它也是一种运算,也就是我们这节课要学习的幂的乘方.(板书课题) [设计意图]

通过复习知识,直接点出本节课的主题,激发学生的学习兴趣,引导学生体验把实际问题抽象成数学问题的一般方法,为新授内容做准备.

[过渡语]

上节课我们学习的是同底数幂的乘法,当幂的底数又是一个幂的形式的时候,我们该如何计算呢?本节课我们一起来研究这个问题.

探究活动1

探索幂的乘方的运算性质

思路一

1.你知道(102)3等于多少吗? 学生展示计算过程: (102)3

=102×102×102①

=102+2+2②

=106

=102×3.

【思考】

推出第①步和第②步的根据是什么呢? 点拨:第①步利用了乘方的含义,(102)3表示3个102相乘;第②步利用了同底数幂的乘法:底数不变,指数相加.

【思考】

观察上面的运算过程,底数和指数发生了怎样的变化? 点拨:结果的指数刚好是原式中两个指数的积,而运算前后底数没变.

2.做一做:计算下列各式,并说明理由.

(1)(62)4;

(2)(a2)3; (3)(am)2; (4)(am)n.

[处理方式]

通过观察不难发现,上面的4个小题都是幂的乘方的运算,下面我们就请四位同学到黑板上板演,其余的同学观察他们做的有无错误.

【师生活动】

展示解答过程: (1)(62)4=62·62·62·62=62+2+2+2=68.

(2)(a2)3=a2·a2·a2=a2+2+2=a6.

(3)(am)2=am·am=am+m=

.

个

个

(4)(am)n=

=

=amn.

【知识归纳】

由上面的“做一做”我们可推出幂的乘方的运算性质,即:(am)n=amn(m,n都是正整数).

用语言表述为:幂的乘方,底数不变,指数相乘.

[设计意图]

由幂的意义和同底数幂的乘法得出幂的乘方的运算法则,知识自然生成,学生很容易接受.

思路二

回答下列问题: (1)64的底数是

,指数是

,它表示

个

相乘.

(2)(62)4的底数是

,指数是

,它表示

个

相乘.

(3)(a2)3的底数是

,指数是

,它表示

个

相乘.

[处理方式]

学生先独立思考,然后小组内共同探究结果,并归纳总结得到结论,从而得到幂的乘方的法则.

教师引导归纳: (62)4=

×

×

×

=

=

.

(a2)3=

×

×

=

=

.

(am)2=

×

=

=

.

(am)n=

×

×…×

=

=

, 即(am)n=

(m,n都是正整数).

【思考】

通过上面的探索活动,你发现了什么? 幂的乘方,底数

,指数

.

用字母表示:(am)n=amn(m,n都是正整数).

[知识拓展]

[(am)n]p=amnp(m,n,p都是正整数).

[设计意图]

通过三个问题由浅入深,由特殊到一般,由猜测到探索、再到理解法则的实际意义,从而从本质上认识、学习幂的乘方的性质,并运用自己的语言进行描述,教师再引导学生归纳总结幂的乘方的法则,充分利用课堂中的一切机会,调动学生探究问题的积极性,发展学生的语言表达能力.

探究活动2

幂的乘方性质的应用

[过渡语]

在具体问题中怎样运用幂的乘方的运算性质呢?下面通过例题看看同学们有什么高见.

(教材例1)计算.

(1)(102)3;

(2)(b5)5;

(3)(an)3; (4)- (x2)m; (5)(y2)3·y; (6)2(a2)6- (a3)4.

[处理方式]

请几个同学口答(1)~(3)题,并课件展示解题过程: (1)(102)3=102×3=106.

(2)(b5)5=b5×5=b25.

(3)(an)3=a3n.

教师点拨(4)~(6)题: (4)- (x2)m表示(x2)m的相反数,所以- (x2)m=-

.

(5)(y2)3·y中既含有乘方运算,也含有乘法运算,按运算顺序,应先算乘方,再算乘法,所以(y2)3·y=y2×3·y=y6·y=y6+1=y7.

(6)2(a2)6- (a3)4按运算顺序应先算乘方,后算减法,所以2(a2)6- (a3)4=2a2×6- a3×4=2a12- a12=a12.

[设计意图]

例题的设计用来教会学生如何运用幂的乘方法则,同时进一步体会幂的乘方的意义,巩固幂的乘方法则.

探究活动3

幂的乘方法则的延伸

1.判断下面计算是否正确,如有错误请改正.

(1)(x3)3=x6;

(2)a6·a4=a24.

2.计算.

(1)(103)3;

(2)- [(a- b)2]5; (3)(x3)4·x2.

[处理方式] 第1题:独立解答,汇报交流.

(1)(x3)3=x6不正确,(x3)3表示三个x3相乘,即x3·x3·x3=x3+3+3=x3×3=x9;或直接根据幂的乘方的运算性质:底数不变,指数相乘,得(x3)3=x3×3=x9.

(2)a6·a4=a24不正确.a6·a4=(a·a·a·a·a·a)·(a·a·a·a)=a10;或根据同底数幂乘法的运算性质:底数不变,指数相加,得a6·a4=a6+4=a10.

【温馨提示】

注意幂的乘方与同底数幂的乘法运算的异同.

第2题:先让3名学生板演,然后课件展示(规范板书): 解:(1)(103)3=1

=109.

(2)- [(a- b)2]5=- (a- b)2×5=- (a- b)10.

(3)(x3)4·x2=x3×4·x2=x12·x2=

=x14.

【温馨提示】

幂的底数和指数不仅仅可以是单独的字母或数字,也可以是某个单项式或多项式.

[设计意图]

学生在练习中体会幂的乘方的意义,巩固幂的乘方运算性质.发现问题及时查缺补漏.

[知识拓展]

逆用幂的乘方法则amn=(am)n,可以将幂的底数进行转化,从而可化为同底数幂的乘法来计算,也可以用来比较两个幂的大小.例如:由2·8n·16n=222可得2·23n·24n=222,即21+3n+4n=222,从而得到n=3.在比较340与430的大小的时候,也可以将两个幂化为同底数或同指数来进行比较.

1.幂的乘方的运算性质.

(am)n=amn(m,n都是正整数).

幂的乘方,底数不变,指数相乘.

2.在具体应用幂的乘方的运算性质时应注意以下几点: (1)幂的底数和指数不仅仅可以是单独字母或数字,也可以是某个单项式或多项式.

(2)正确区分幂的乘方与同底数幂的乘法的异同.

运算法则

运算名称

运算形式

底数

指数

同底数幂

am·an=am+n

不变

相加

的乘法

幂的乘方

(am)n=amn

不变

相乘

mnpmnpmnp(3)多重乘方可以重复运用上述幂的乘方法则:[(a)]=(a)=a(m,n,p都是正整数).

(4)幂的乘方公式还可逆用,即amn=(am)n=(an)m(m,n都是正整数).

1.填空.

(1)(y2)2n=

; (2)若9m=316,则m=

; (3)若3×27×9=3x,则x=

.

答案:(1)y4n

(2)8

(3)6 2.计算.

(1)(- 1)5·[(- 3)2]2; (2)(x2)4·x; (3)(x2)3+[(- x)3]2.

解:(1)(- 1)5·[(- 3)2]2=(- 1)·81=- 81.

(2)(x2)4·x=x8·x=x9.

(3)(x2)3+[(- x)3]2=x6+x6=2x6.

3.已知am=3,an=2,求a2m+3n的值.

解:a2m+3n=a2m·a3n=(am)2·(an)3=32×23=72.

第1课时

探究活动1

探索幂的乘方的运算性质

探究活动2

幂的乘方性质的应用

例题

探究活动3

幂的乘方法则的延伸

一、教材作业

【必做题】

教材第6页习题1.2知识技能第1,2题.

【选做题】

教材第6页习题1.2数学理解第3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.若m,n均为正整数,则(am)n=

,即幂的乘方,底数

,指数

.

2.计算.

(1)(75)4=

; (2)75×74=

; (3)(x5)2=

; (4)x5·x2=

; (5)[(- 7)4]5=

; (6)[(- 7)5]4=

.

3.你能说明下面每一步计算的理由吗?将它们填在括号里.

(1)y·(y2)3

=y·y6(

) =y7(

).

(2)2(a2)6- (a3)4

=2a12- a12(

) =a12(

).

【能力提升】

4.已知3x=2,求3x+2的值.

5.计算.

(1)(- x4)5+(- x5)4; (2)(- am+1)3·(a2)1+m; (3)3(x3)2·(x2)4- (x5)2·(x2)2.

【拓展探究】

6.已知10a=5,10b=6.求: (1)102a+103b的值;

(2)102a+3b的值.

7.比较2100与375的大小.