习题2.1优质课教案推荐

指数函数习题课教学设计

一

指数函数基础知识复习巩固

1．根式

(1)根式的概念

n①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

②a的n次方根的表示：

x＝na，当n为奇数且n∈N，n>1时，x＝a⇒

x＝±na，当n为偶数且n∈N时.*n*(2)根式的性质

n①(a)n＝a(n∈N*，且n>1)．

a，n为奇数，na，a≥0，②an＝

|a|＝n为偶数.－a，a<0，2．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

n①正分数指数幂：a＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

m11－②负分数指数幂：an＝m＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

annammn③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．

(2)有理数指数幂的运算性质

①aras＝ars(a>0，r，s∈Q)．

＋②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．

③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

3．指数函数的图象及性质

函数

y＝ax(a>0，且a≠1) 0

图象

a>1

图象特征

定义域

值域

性质

单调性

函数值

变化

规律

在x轴上方，过定点(0，1) 当x逐渐增大时，图象逐渐下降

R

(0，＋∞)

减

当x＝0时，y＝1

当x<0时，y>1；

当x>0时，0

当x<0时，0

当x>0时，y>1 增

当x逐渐增大时，图象逐渐上升

二

典例精讲练习

化简下列各式：

11－271(1)0.027－－7＋292－(2－1)0；

31－5－－(2)a3b2·(－3a－b1)÷(4a3b3)2·ab. 26272252【解】

(1)原式＝－7＋9－1

1 000105＝－49＋－1＝－45.

3351－322－a－b3÷(2a3b－)·(2)原式＝ab

262151315－522＝－a－b－·ab＝－b1＝－. 42244b1111－31121

[提醒]

运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．

[通关练习] 41．化简16x8y4(x<0，y<0)得(

) A．2x2y

C．4x2y

B．2xy

D．－2x2y

解析：选D.因为x<0，y<0，所以2．化简下列各式：

27－370.5(1)(0.027)＋125－29；

231416xy＝(16x·y)＝(16)·(x)·(y)＝2x2|y|＝－2x2y.

848441148414411－2（4ab1）3(2)4·1. －1－33（0.1）·（a·b）2－11253解：(1)原式＝0.3＋27－

2125

9＝9559＋－＝.

10033100－12（4ab）(2)原式＝

3310a2b－2316ab－28＝3＝. 35210ab－2

指数函数的图象及应用

[典例引领]

(1)函数f(x)＝ax确的是(

) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．00 D．0

【解析】

(1)由f(x)＝axb的图象可以观察出函数f(x)＝axb在定义域上单调递减，所以0

(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．

当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解．

【答案】

(1)D

(2){0}∪[1，＋∞)

1.若本例(2)条件变为：方程3|x|－1＝k有两解，则k的取值范围为________．

解析：作出函数y＝3|x|－1与y＝k的图象如图所示，数形结合可得k>0.

答案：(0，＋∞)

2.若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋k的图象不经过第二象限，则实数k的取值范围是________．

解析：作出函数y＝|3x－1|＋k的图象如图所示．

由图象知k≤－1，即k∈(－∞，－1]．

答案：(－∞，－1]

3.若将本例(2)变为函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围如何？

解：由本例(2)作出的函数y＝|3x－1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k∈(－∞，0]．

指数函数图象的画法及应用

1－1，.

(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，a(2)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．

(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．

[通关练习] 1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(

)

解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．

2．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是

________．

解析：(1)当0

2(2)当a>1时，y＝|ax－1|的图象如图②，而y＝2a>1不可能与y＝|ax－1|有两个交点．综上，10

2

10，

答案：2

指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．高考对指数函数的性质的考查主要有以下三个命题角度：

(1)比较指数幂的大小；

(2)解简单的指数方程或不等式；

(3)研究指数型函数的性质．

[典例引领] 角度一

比较指数幂的大小

13413，则下列关系式中正确的是(

)

已知a＝，b＝2－，c＝223A．c

C．a

4x21B．b

D．a

42134211在R上为减函数，13<13<1【解析】

把b化简为b＝，而函数y＝>>，所以2222233313，即b

【答案】

B角度二

解简单的指数方程或不等式

1－7，x<0，2

设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是(

) x，x≥0，A．(－∞，－3) C．(－3，1) axB．(1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) aa－311<8，即1<1，

【解析】

当a<0时，不等式f(a)<1可化为－7<1，即2222

1因为0<<1，所以a>－3，此时－3

2故a的取值范围是(－3，1)，故选C.

【答案】

C 角度三

研究指数型函数的性质

1

已知函数f(x)＝3ax2－4x＋3. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)有最大值3，求a的值；

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

1－x－4x＋3【解】

(1)当a＝－1时，f(x)＝3，

令g(x)＝－x2－4x＋3，

1由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝

3在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，

单调递减区间是(－∞，－2)．

1(2)令g(x)＝ax－4x＋3，f(x)＝32g（x）t2，

由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，

a＞0，因此必有3a－4解得a＝1，

a＝－1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.

1(3)令g(x)＝ax－4x＋3，f(x)＝32g（x），

由指数函数的性质知，

1要使y＝3g（x）的值域为(0，＋∞)．

应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，

因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)

故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a的值为0.

有关指数型函数性质的常考题型及求解策略

题型

求解策略

比较幂值的大小

(1)能化成同底数的先化成底数幂再利用单调性比较大小.

(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小

先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解

与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致

解简单指数不等式

探究指数型函数的性质

[通关练习] 11．函数y＝()x2＋2x－1的值域是(

) 2A．(－∞，4) C．(0，4] 1解析：选C.设t＝x2＋2x－1，则y＝()t.

21因为0<<1，

21所以y＝()t为关于t的减函数．

2因为t＝(x＋1)2－2≥－2，

11－所以0

22故所求函数的值域为(0，4]．

2．(2018·河南南阳、信阳等六市模拟)已知a、b∈(0，1)∪(1，＋∞)，当x>0时，1

) A．0

解析：选C.因为x>0时，11.

a因为x>0时，b0时，b>1.

xxxB．(0，＋∞) D．[4，＋∞) B．0

a所以>1，所以a>b.

b所以1

1解析：设t＝3x，则y＝9x＋m·3x－3＝t2＋mt－3.因为x∈[－2，2]，所以t∈9，9.又函数y1＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，即y＝t2＋mt－3在区间9，9上单调递减，

m故有－≥9，解得m≤－18.

2所以m的取值范围为(－∞，－18]．

答案：

(－∞，－18]

三

课堂小结

nnan与(a)n的区别

n(1)an是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．

n(2)(a)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定．

指数函数的图象与性质

(1)利用性质判断

根据指数函数y＝ax的图象及性质，判断所给函数的定义域、单调性、函数值(正负)等．

(2)不同底数的指数函数的图象在同一平面直角坐标系中的相对位置关系是：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大到小．

与指数函数有关的复合函数的定义域、值域

(1)y＝af(x)的定义域就是f(x)的定义域．

(2)求y＝af(x)和y＝f(ax)的值域的解法．

①形如y＝af(x)的值域，要先令u＝f(x)，求出u＝f(x)的值域，再结合y＝au的单调性求出y＝af(x)的

值域．若a的取值范围不确定，则需要对a进行分类讨论：当01时，y＝au为增函数．

②形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)的单调性确定y＝f(ax)的值域．

与指数函数有关的复合函数的单调性

利用复合函数的单调性判断形如y＝af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：

(1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间．

(2)若0

易错防范

(1)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意区分a>1或0