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第2讲

函数的单调性与最值

一、选择题

1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是

(

)．

A．y＝x2

B．y＝|x|＋1 D．y＝2|x|

C．y＝－lg|x|

解析

对于C中函数，当x>0时，y＝－lg x，故为(0，＋∞)上的减函数，且y＝－lg |x|为偶函数．

答案

C 2．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)＜f(1)的实数x的取值范围是(

) A．(－1,1)

B．(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(0,1)

解析

∵f(x)在R上为减函数且f(|x|)＜f(1)，

∴|x|＞1，解得x＞1或x＜－1. 答案

D b3．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)x上是(

) A．增函数

B．减函数

D．先减后增

C．先增后减

b解析 ∵y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，

x∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．

答案 B b<0，

2a

1，x>0，4．设函数f(x)＝0，x＝0，－1，x<0，

A．(－∞，0]

C．[1，＋∞)

g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是

(

)．

B．[0,1) D．[－1,0] 解析

g(x)＝0，x＝1，－x2，x<1.x2，x>1，

如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B. 答案

B 5．函数y＝－x2＋2x－3(x＜0)的单调增区间是(

) A．(0，＋∞)

C．(－∞，0)

B．(－∞，1] D．(－∞，－1] 解析

二次函数的对称轴为x＝1，又因为二次项系数为负数，拋物线开口向下，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(－∞，0)．

答案

C 6．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)fx，fx≤K，1＝取函数f(x)＝2－|x|，当K＝2时，函数fK(x)的单调递增区间K，fx>K，

为

－|x|

(

)．

A．(－∞，0)

C．(－∞，－1)

－|x|B．(0，＋∞)

D．(1，＋∞) 1≤2，2，21解析

f2(x)＝1－|x|1，2>22

⇔

1|x|，x≤－1或x≥1，21f2(x)＝12，－1

11f2(x)的图象如右图所示，因此f2(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．

答案

C 二、填空题

7．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)＝________. 解析

∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1. 当－2≤a<1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，ymin＝a2－2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin＝－1. 2a－2a，－2≤a<1，综上，g(a)＝

－1，a≥1.2a－2a，－2≤a<1答案



－1，a≥1

8．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是_______．

解析

y＝－(x－3)|x| 2－x＋3x

x>0，＝2x－3x

x≤0.

30，. 作出该函数的图像，观察图像知递增区间为23答案

0，

29．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是________．

解析

①当a＝0时，f(x)＝－12x＋5在(－∞，3)上为减函数；②当a＞0时，要使f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则对称轴x＝3－a必在x＝3的右边，即3－a3≥3，故0＜a≤；③当a＜0时，不可能在区间a4a

3(－∞，3)上恒为减函数．综合知：a的取值范围是0，. 43答案

0，

4－xe－2，x≤0，10．已知函数f(x)＝(a是常数且a>0)．对于下列命题：

2ax－1，x>0

①函数f(x)的最小值是－1；

②函数f(x)在R上是单调函数；

1③若f(x)>0在2，＋∞上恒成立，则a的取值范围是a>1；

④对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有

x1＋x2fx1＋fx2

解析

根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f(x)在R上不是单调函数，故②错误；11若f(x)>0在2，＋∞上恒成立，则2a×2－1>0，a>1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意x1＋x2fx1＋fx2<的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f成立，故④正确．

22答案

①③④

三、解答题

11．求函数y＝a1－x2(a>0且a≠1)的单调区间．

解 当a>1时，函数y＝a1－x2在区间[0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0]上是增函数；

当0

a12．已知函数f(x)＝x2＋x(x≠0，a∈R)．

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．

解

(1)当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；

当a≠0时，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，

∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

aax1－x22(2)设x2>x1≥2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋x－x2－2x2＝x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，

1由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，

x1x2>0. 要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，

只需f(x1)－f(x2)<0，

即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，则a≤16. 13．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0. (1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；

(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．

解

(1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减．

(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0. a3x(i)当a<0，b>0时，2>－2b，

3a解得x>log2－2b；

a3(ii)当a>0，b<0时，2x<－2b，

3a解得x0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)是R上的增函数；

(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3. 解 (1)证明

设x1，x2∈R，且x1

则x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1. f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1) ＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0.

∴f(x2)>f(x1)．即f(x)是R上的增函数．

(2) ∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，

∴f(2)＝3，

∴原不等式可化为f(3m2－m－2)

∵f(x)是R上的增函数，∴3m2－m－2<2，

44解得－1