习题1.2教学设计(教案)

第9课时

分段函数与映射

1.通过具体实例了解分段函数的概念和意义,会求分段函数的值,绘制分段函数的图象和求分段函数的值域.

2.了解映射的概念及表示方法,并知道映射与函数的区别和联系.

从A地到B地首先经过一段路程为5 km的下坡路,再经过一段路程为4 km的上坡路,最后经过一段路程为10 km的平路.某同学骑自行车从A地到B地,下坡路的骑车速度为30 km/h,上坡路的骑车速度12 km/h,平路的骑车速度为20 km/h,则该同学骑车从A地到B地的行驶时间t(h)关于行驶的路程S(km)的函数关系式为S=S(t).

问题1:(1)该同学下坡路的行驶时间为

h,上坡路的行驶时间为

h,平路的行驶时间为

h,从A地到B地总共所用的时间为

h.

(2)当0≤t≤时,S(t)=

;当

;当

.所以

S(t)=

图象如象.

-

问题2:分段函数如何定义? 分段函数:一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的

不同,这种函数称为分段函数.分段函数是

函数,其定义域是各段自变量取值集合的

,其值域是各段函数值集合的

.

问题3:映射是如何定义的? 设A、B是两个

,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的

一个元素x,在集合B中都有

的元素y与之对应,那么就称对应关系f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.记作“

”.

问题4:映射与函数的关系

(1)联系:映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的,函数是一种特殊的

.

(2)区别:函数是从非空数集A到非空数集B的映射;对于映射而言,A和B不一定是数集.

分段函数的求值问题

已知函数f(x)=

-

- (1)求f(1-

),f(f(f(-2)))的值;

-

(2)求f(3x-1)的解析式; (3)若f(a)=,求a的值.

映射的概念与判定

给出下列四个对应: ①A=R,B=R,对应关系f:x→y,y= ; ②A={a|

a∈N*},B={b|b=

,n∈N*},对应关系f:a→b,b=

; ③A={x|x≥0},B=R,对应关系f:x→y,y2=x; ④A={x|x是平面α内的矩形},B={y|y是平面α内的圆},对应关系f:每一个矩形都对应它的外接圆.

其中是从A到B的映射为

.

分段函数的应用

某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的80%出售;同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案相应获得第二次优惠: 消费金额(元)的范围

第二次优惠金额(元)

[200,400)

30

[400,500)

60

[500,700)

100

[700,900)

150

…

…

根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠,例如:购买标价为600元的商品,则消费金额为480元,480∈[400,500),所以获得第二次优惠金额为60元,获得的优惠总额为:600×0.2+60=180(元).设购买商品的优惠率=购买商品获得的优惠总额商品的标价.

试问:(1)购买一件标价为1000元的商品,顾客得到的优惠率为多少? (2)设顾客购买标价为x元(x∈[250,1000])的商品获得的优惠总额为y元,试建立y关于x的函数关系式.

-

1.(2014年·上海卷)设f(x)=

若f(2)=4,则a的取值范围为

.

考题变式(我来改编):

年·浙江卷)设函数f(x)=

-

若f(f(a))=2,则a=

.

考题变式(我来改编):

2.(2014

第9课时

分段函数与映射

知识体系梳理

问题1:(1)

1

(2)30t 12t+3

20t-1 问题2:解析式

一个

并集

并集

问题3:非空的集合

任意

唯一确定

f:A→B

问题4:(1)映射

重点难点探究

探究一:【解析】(1)∵1-

=1-(

+1)=-

<-1,

-

∴f(1-

)=f(-

)=-2

+3.

-

∵f(-2)=-1,f(f(-2))=f(-1)=2, ∴f(f(f(-2)))=f(2)=1+

=

.

(2)当3x-1>1,即x>时,f(3x-1)=1+

=; -

-

当-1≤3x-1≤1,即0≤x≤时,f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2; 当3x-1<-1,即x<0时,f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1.

-

综上所述,f(3x-1)=

-

(3)当a>1时,f(a)=1+=,∴a=2>1;

当-1≤a≤1时,f(a)=a2+1=,∴a=±∈[-1,1];

当a<-1时,f(a)=2a+3=,∴a=->-1(舍去).

综上所述,a=2或a=±.

【小结】求分段函数值的方法:先确定要求值的自变量属于哪个区间,然后代入该段的解析式求值.已知函数值求字母取值的步骤:(1)对字母的取值范围进行分类讨论;(2)代入到不同的解析式中;(3)通过解方程求出字母的值;(4)检验所求值是否在所讨论的区间内.

探究二:【解析】对于①,当x=-1时,y值不存在,所以①不是从A到B的映射; 对于②,A,B两个集合分别用列举法表述为A={2,4,6,…},B={1,,,,…},由对应关系f:a→b,b=知,②是从

A到B的映射; ③不是从A到B的映射,如A中元素1对应B中两个元素±1; ④是从A到B的映射.故填②④.

【答案】②④

【小结】注意具备下列两种情况之一的都不是从A到B的映射:①A中存在一个元素在B中没有元素与之对应,②集合A中存在一个元素在B中有2个或多个元素与之对应.

探究三:【解析】(1)标价为1000元的商品消费金额为800元,获得奖券150元,优惠额为350元,所以优惠率为0.35.

(2)y=

【小结】(1)求分段函数的解析式,应注意“先分后合”,根据不同区间写出相应函数的解析式,最后再合并.注意分段函数是一个函数,而不是几个函数.(2)分段函数是实际问题中常用的一种函数模型.

全新视角拓展

1.【解析】由题意,若a>2,则f(2)=2不含题意,因此a≤2,此时x∈[a,+∞)时,f(x)=x2,满足f(2)=4.

故a的取值范围为(-∞,2].

【答案】(-∞,2] 2.【解析】分段求分段函数的函数值,注意分类讨论思想的应用.

若a>0,则f(a)=-a2<0,f(f(a))=a4-2a2+2=2,得a=

.

若a≤0,则f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0,f(f(a))=-(a2+2a+2)2=2,此方程无解.

【答案】

思维导图构建

非空数集

非空数集

解析式