小结板书设计及设计说明

3.函数模型及其应用

知识归纳

1．求解函数应用问题的思路和方法

2．函数建模的基本流程

误区警示

求解函数应用题时，关键环节是审题，审题时：

一要弄清问题的实际背景，注意隐含条件；

二是将文字语言恰当准确的翻译为数学语

言，用数学表达式加以表示；

三是弄清给出什么条件，解决什么问题，通

过何种数学模型加以解决；

四是严格按各种数学模型的要求进行推理运

算，并对运算结果作出实际解释．

3．常见函数模型的理解

（1）一次函数模型（其增长特点是直线上升（x的系数k0），通过图象可很直观地认识它）、

二次函数型、正反比例函数型

（2）指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的第

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速度越来越快(a1)，常形象地称之为“指数爆炸”。

（3）对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长特点是开始阶段增长得较快(a1)，但随着x的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”。

（4）幂函数模型：能用幂函数表示表达的函数模型，其增长情况随x中n的取值变化而定，常见的有二次函数模型。

nf(x)x（5）分式（“勾”）

函数模型：形如a(a0,x0)x的函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时通过利用导数研究其单调性来求最值。

四．典例解析

题型1：正比例、反比例、一次函数型和二次函数型

例1．某种商品原来定价为每件a元时，每天可售出m件，现在把定价降低x个百分点（即x％）后，售出数量增加了y个百分点，且每天的销售额是原来的k倍。

（1）

设y=nx，其中n是大于1的常数，试将k写成x的函数；

（2）

求销售额最大时x的值（结果可用喊n的式子表示）；

（3）

当n＝2时，要使销售额比原来有所增加，求x的取值范围。

nx2(n1)x1

解：（1）依题意有a(1-x%)×m(1+y%)=kam，将y=nx代入，化简得k10000100

（2）由（1）知当x50(n1)时，k值最大。因为销售额为amk，所以此时销售额也最大，且销售额n(n1)2ma最大为元。

4nx21x21x1要使销售额有所增加，需k＞1，所以x＞0，故（3）当n=2时，k50001005000100x∈（0，50），这就是说，当销售额有所增加时，降价幅度的范围需要在原价的一半以内。

题型2：分段函数型

例2某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。

（I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？

（II）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数Pf(x)的表达式；

（III）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）

[解题思路]根据题意及“工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本”建立函数模型进行求解

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【解析】（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元，一次订购量为。

因此，当一次定购量为550个时，零件的实际出厂单价恰降为51元。

（2）当当当时，P＝60；

时，时，P＝51。

；

个，则所以

（3）设销售商的一次订购量为个时，该厂获得的利润为L元，则

，

当时，L＝6000；当时，L＝11000。

故当销售商一次订购

500 个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．

[名师指引]求解数学应用题必须突破三关：

（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义．

（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题．

（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型．

题型3：指数、对数型函数

例3．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y岁存期x变化的函数式，如果存入本金1000元，每期利率2.25％，试计算5期后的本利和是多少？

解：已知本金为a元，1期后的本利和为y1=a＋a×r＝a(1+r),2期后的的本利和为y2=a(1+r)2，。。。。x期后的本利和为：y=a(1+r)x, 将a=1000，r=2.25%，x=5代入得y=1000×（1＋2.25％）5

用计算器可得y=1117.68（元）

点评：对于指数函数、对数函数要熟练应用近似计算的知识，来对事件进行合理的解析。

题型4：分式（不等式）型

例4．对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: 1污物质量）为0.8, 要求清洗完后的清洁度为0.99.

有两种方案可供选择, 方案甲: 一次物体质量（含污物）清洗;

方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为a(1a3). 设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是x0.8(xa1), 用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是x1第

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yac, 其中c(0.8c0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.。

ya(Ⅰ)分别求出方案甲以及c0.95时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少;

(Ⅱ)若采用方案乙, 当a为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

解析：(Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有x0.8=0.99,解得x=19. x1由c0.95得方案乙初次用水量为3, 第二次用水量y满足方程:

故z=4a+3. 即两种方案的用水量分别为19与4a+3. y0.95a0.99,解得y=4a,ya因为当1a3时,xz4(4a)0,即xz,故方案乙的用水量较少. （II）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似（I）得

5c4，ya(99100c)（*）

5(1c)5c41100a(1c)a1

于是xy+a(99100c)5(1c)5(1c)x当a为定值时,xy21100a(1c)a1a45a1, 5(1c)当且仅当1100a(1c)时等号成立.此时

5(1c)c111(不合题意,舍去)或c1(0.8,0.99),

105a105a1代入（*）式得x25a1a1,y25aa.

105a1时总用水量最少, 105a将c1故c1此时第一次与第二次用水量分别为25a1与25aa,

最少总用水量是T(a)a45a1. 当1a3时,T'(a)最少总用水量. 点评：该题建立了函数解析式后，通过基本不等式“x第

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2510,故T(a)是增函数，这说明,随着a的值的最少总用水量, 最少总用水量a1”解释了函数的最值情况，而解决了实际问x

题。该问题也可以用二次函数的单调性判断。

五．思维总结

1．将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

2．怎样选择数学模型分析解决实际问题

数学应用问题形式多样，解法灵活。在应用题的各种题型中，有这样一类题型：信息由表格数据的形式给出，要求对数据进行合理的转化处理，建立数学模型，解答有关的实际问题。解答此类题型主要有如下三种方法：

（1）直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解；

（2）列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较；

（3）描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决。下面举例进行说明。

六：作业

《走向高考》

课后练习

1某地区上年度电价为0.8元（千瓦/·时），年用电量为a千瓦·时.本年度计划将电价降到0.55元／（千瓦·时）至0.75元／（千瓦·时）之间，而用户期望电价为0.4元／（千瓦·时）.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区电力的成本价为0.3元／（千瓦·时）. （1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；

（2）设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%? 〔注：收益＝实际用电量×（实际电价－成本价）〕

[解题思路]先根据题意写出收益y与实际电价x的函数关系式，然后再列出不等式求解

k[解析] （1）设下调后的电价为x元／（千瓦·时），依题意知用电量增至x0.4＋a，电力部门的收益为yk＝（x0.4＋a）（x－0.3）（0.55≤x≤0.75）. 0.2aa)(x0.3)[a(0.80.3)](120%),(x0.40.55x0.75.（2）依题意有

x21.1x0.30,0.55x0.75.整理得

解此不等式得0.60≤x≤0.75.

答：当电价最低定为0.60元／（千瓦·时）时，仍可保证电力部门的收益比去年至少增长20%. 2．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米路程,

x22360升, 按交通法规限制50≤x≤100 (单位: 千米/小时). 假设汽油的价格是每升2元, 而汽车每小时耗油司机的工资是每小时14元. （Ⅰ）求这次行车总费用y关于y的表达式；

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（Ⅱ）当x为何值时, 这次行车的总费用最低, 并求出最低费用的值（精确到小数点后两位，103.16）．

[解题思路]根据题意建立y与x的函数关系，然后再求y的最小值

t（Ⅰ）设行车所用时间为130(h)x

130x214130y2(2),x[50.100].x360x∴

所以，这次行车总费用y关于x的表达式是：

y130182130x,x[50.100].x360

y234013x,x18x[50.100]）

（或：y（Ⅱ）130182130x261082.16x360，

130182130x,即x181056.88yminx360当且仅当时，上述不等式中等号成立

答：当x约为56.88km/h时，这次行车的总费用最低，最低费用的值约为82.16元.

3．某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促82.16

x3销费用m万元（m≥0）满足k(k为常数)m1，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）。

（1）将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

（2）该厂家2008的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

解：（1）由题意可知，当m0时,x1(万件)，

13k,即k2,x3

2816x.1.5m1

每件产品的销售价格为x（元），

816x](816xm)x 248xm48(3)mm1

16[(m1)]29(m0).m1

16m0时,(m1)2168m1

（2），

2006年的利润yx[1.5第

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y82921,当且仅当

16m1,即m3y21（万元）m1（万元）时，max。所以该厂家2006年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元。

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