小结优秀公开课教案

基本初等函数

第一部分

知识点梳理

1、整数指数幂的运算法则

同底数幂相乘：底同底数幂相乘：底幂的乘方：底数积的乘方，各因数不变，指数相加

数不变，指数相加

不变，指数相乘

子乘方的积

amanamn

amanamn

mn,a0

1a0

naamamn nabmambn

规定：a01a0；an2、n次方根的概念及性质

（1）①如果一个数的的平方等于a，那么这个数叫做a平方根. ②如果一个数的的立方等于a，那么这个数叫做a立方根. ③一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根（n1且nN*）. （2）①正数的奇次方根是一个负数；负数的奇次方根是一个负数. ②正数的偶次方根有两，这两个数互为相反数；

（3）0的任何次方根都是0. 3、根式的定义及性质

（1）根式的概念: 式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。

（2）根式的性质

①n00nN*,且n1；

②aanN*,且n1；

nn ③nana（a为大于1的奇数）；

aa0 ④aa（n为大于1的偶数）

aa0nn4、分数指数幂的意义

分正分数指数幂

规定：anama0,m,nN*,且n1

m数11na规定：==a0,m,nN*,且n1

m负分数指数幂

nm指anmna

数幂

性质

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

5、有理数指数幂的运算性质

（1）arasars；

（2）arars；

（3）abarbr

sr6、指数函数的定义

函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中x为自变量，函数的定义域为R. 7、指数函数的图象和性质

图

象

-4-2a>1 650

R -4-20-1246

定义域

值域

性

质

过定点

函数值的变化

单调性

奇偶性

（0，+∞）

过定点（0，1），即x0时，y1

当x0时，y1；

当x0时，0y1

在 R上是增函数

当x0时，0y1；

当x0时，y1

在R上是减函数

非奇非偶函数

8、指数型函数的单调性

当a1时，函数yafx与函数fx在相应区间上的单调性相同；当0a1时，函数yafx与函数fx在相应区间上的单调性相反。具体可用下表表示：

ufx

yau

yafx

增

增

减

减

增a1

减0a1

增a1

减0a1

一般规律：“同增异减”，即ufx与yau单调性相同时，复合函数yafx为增函数；单调性不同时，复合函数yafx为减函数。

第二部分

金题精讲

一、根式的化简与运算

典例1 计算：①63330.125；②ab5ba

总结与启迪：（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个。

（2）根据运算中，经常会遇到开方与乘方并存情况，应注意两者运算顺序是否可换，如对nan仅当a0时，恒有nan(na)n，若a0，则不一定。

（3）根式的性质，当n为奇数时，nana，当n为偶数时，n143825a(a0)

anaa(a0)4变式题1 化简3a341a的结果是（ ）

A.1 B.2a1 C.1或2a1 D.0

二、条件根式的化简

典例2 设3x3，化简x22x1x26x9.

总结与启迪：为使开偶次方后不出现符号错误，第一步先用绝对值表示开方的结果，第二步再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论。

变式题2 若代数式2x12x有意义，化简4x24x124x2

三、有根式的代数式求值

典例3 已知x，y，求

总结与启迪：本题主要考查根式的化简求值。若直接代入式子求解较繁，故应先化简变形，创造条件简化运算。

变式题3 已知a,b是方程x26x40的两根，且ab0，求的值.

四、根式与分数指数幂的互化

典例4 将下列根式化成分数指数幂的形式：

⑴aaa0；

⑵31223xyxyxyxy的值. abab1x5x224bx0；

⑶2323b0.

总结与启迪：此类问题应熟练应用anama0,m,nN*,且n1。当所求根式含有很多重根号时，要搞清楚被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简。

变式题4 将下列根式化成分数指数幂的形式a0：

11369639⑴；

⑵aa. aa44mn

五、分数指数幂的运算与化简

典例5

化简:831022392105

总结与启迪：根式与指数运算混合时，将根式化为分数指数幂表示运算较为方便。原式有根式时，最后结果一般应化为根式。

变式题5 计算下列各式：

⑴.32512545;

⑵.

六、条件因式的化简与求值

典例6 已知aa2a0.求：⑴aa1；⑵a2a2.

总结与启迪：方法一注重了已知条件与所求问题之间的内在联系，运用整体思想解决问题，简化了运算过程。方法二较直接，要求代数式的值需求a的值，故由已知等式可求得，使问题迎刃而解。

b3变式题6 当a0.001时，求2212a的值. a323ab4b3a8ab43131212aa3a2a0.

七、指数幂运算的综合应用

典例7 计算下列各式

33⑴8230.002121052123. 0

113343⑵630.06250.064482.50

25b3⑶2212a3334b2abaa8ab43133aa0,b0.

总结与启迪：在引入分数指数幂概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩展，在进行有理数指数幂的运算时，一般思路是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，灵活运用指数幂的运算性质。同时要注意运用整体的观点、方程的观点处理问题，或利用已知的公式、换元等简化运算过程。

变式题7 ⑴化简：3xy2xy1

⑵计算：2

八、指数函数概念的应用

典例8 形如①y3xxyxy1xyx0,y0；

0112412210158

23；②y2x1；③yax；④2

1xy2a1a,且a1；⑤y25x的式子是指数函数吗？

2

总结与启迪：在指数函数的定义表达式yax(a0,且a1)中，ax前的系数必须是1，自变量x在指数的位置上，否则不是指数函数。

变式题8 若函数ya23a3ax是指数函数，则a的值为________.

九、指数函数的图象问题

典例9 如图所示是指数函数①yax;②ybx;③ybx;④ybx的图像,则a,b,c,d的大小关系是（ ） y③

A.ab1cd B.ba1dc C.1abcd D.ab1dc

总结与启迪：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y轴，当底数大于0且小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近于x轴。简称当x0时，底大图高。

变式题9 已知1nm0，则指数函数①ymx，②ynx的图像为（

y①）

②

② ①

④

y②

①

②

①

y

②

y①

xxABxCxD十、利用指数函数的性质比较大小

典例十

比较下列每组中两个数的大小：

①1.82.5，1.83；②0.70.1，0.70.2；③1.60.3，0.93.1

总结与启迪：一般地，对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数的函数图象的变化规律来判断；对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可通过中间值来判断；幂的大小即为对应函数的函数值，故可考虑利用数形结合去判断。

1x0.2变式题10 若0x1，则2，，之间的大小关系是（ ）

2xx11xxA.2x0.2x B. 20.2

2211xxxxC. D. 0.220.22 22xxxx

十一、解指数不等式

典例11 设0a1，解关于x的不等式a2x3x2a2x2x3.

总结与启迪：解指数不等式问题，需注意三点：

（1）形如axay的不等式，借助yax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1或0a1两种情况讨论；

（2）形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解；

（3）形如axbx的形式，利用图象求解。

变式题11 如果ax5xax10（其中a0，a1），求x的取值范围.

2222

十二、指数型函数的定义域与值域：

典例12 求下列函数的定义域与值域：

1⑴y2； ⑵y21xx22x8

总结与启迪：（1）定义域和对应关系确定值域，因此定义域和值域是密切联系的，要求值域，先看定义域。

（2）复合函数问题可以通过换元法，化繁为简，解决问题，当我们综合解决问题的能力提高了以后，也可以不用换元法，直接将问题解决。

变式题12 求下列函数的定义域和值域：

2⑴y3x1； ⑵y33x.

十三、指数型函数的图象变换问题

典例13 利用函数fx2x的图象，作出下列函数的图象. ⑴fx1； ⑵fx； ⑶fx1； ⑷fx； ⑸fx1； ⑹fx

总结与启迪：（1）yf(xa)的图象可由yf(x)的图象平移得到：当a0时，左移a个单位，当a0时，右移a个单位，yaxk（k0,a0且a1）的图象是由函数yax的图象经过向左（k0）、向右（k0）平移产生的。

（2）yf(x)a的图象可由yf(x)的图象平移得到：a0时，上移a个单位，a0时，下移a个单位，如yaxk（k0,a0且a1）的图象是yax的图象经过向上（k0）、向下（k0）平移产生的。

（3）yax与yax（a0且a1）的图象关于y轴对称。

1变式题13 已知函数y2x2. ⑴作出图象；

⑵有图象指出单调区间；

⑶有图像指出，当x取什么值时有函数最值.

十四、指数型函数的单调性

典例14 讨论fxax6x17的单调性.

总结与启迪：求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成yf(u),u(x)，通过考查f(u)和(x)的单调性，求出yf((x))的单调性。

2变式题14 求出下列函数的单调区间. ⑴yax3x2a1； ⑵y2

2x22x3.

十五、指数型函数的奇偶性的确定

典例15 已知函数fx⑴求fx的定义域；

⑵讨论fx的奇偶性；

⑶试说明fx0.

总结与启迪：对一些比较复杂的函数进行奇偶性的判断，通常需要先化简再判断，在第（3）问中，由定义域的形式，自然想到分两种情况说明。

ax1变式题15 当a1时，试讨论函数fxx的奇偶性. a1

113x. x212