小结国家优质课一等奖

课时分层训练(六)

函数的奇偶性与周期性

(对应学生用书第241页) A组

基础达标

(建议用时：30分钟) 一、选择题

1．(2016·广东肇庆三模)在函数y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lgx2－2，y＝xsin x中，偶函数的个数是(

) A．3

C．1

B．2

D．0 B

[y＝xcos x是奇函数，y＝lgx2－2和y＝xsin x是偶函数，y＝ex＋x2是非奇非偶函数，故选B.] 2．函数y＝log21＋x的图象(

) 1－xB．关于直线y＝－x对称

D．关于直线y＝x对称

A．关于原点对称

C．关于y轴对称

A

[由1＋x＞0得－1＜x＜1，即函数定义域为(－1,1)，

1－x1－x1＋x又f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，

1＋x1－x∴函数y＝log21＋x为奇函数，故选A．] 1－x3．(2016·山东高考)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1111时，f(－x)＝－f(x)；当x>2时，fx＋2＝fx－2，则f(6)＝(

) A．－2 C．0 B．－1

D．2 111D

[由题意知当x>2时，fx＋2＝fx－2，

则f(x＋1)＝f(x)．

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又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．又当x<0时，f(x)＝x3－1，∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故选D.] 4．(2018·南昌模拟)若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则(

) A．f(2)＞f(3) C．f(3)＞f(5) B．f(2)＞f(5) D．f(3)＞f(6) D

[由题意知函数f(x)的图象关于直线x＝4对称，又函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，从而f(3)＞f(6)．] 5．(2018·深圳模拟)已知f(x)＝4－x2，g(x)＝|x－2|，则下列结论正确的是(

) A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数

B．h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数

C．h(x)＝gx·fx是偶函数

2－xfx是奇函数

2－gxD．h(x)＝D

[A．h(x)＝f(x)＋g(x)＝4－x2＋|x－2|＝4－x2＋2－x，x∈[－2,2]．

h(－x)＝4－x2＋2＋x≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．

B．h(x)＝f(x)·g(x)＝4－x2|x－2|＝4－x2(2－x)，x∈[－2,2]．

h(－x)＝4－x2(2＋x)≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．

C．h(x)＝gx·fx＝4－x2，x∈[－2,2)，不关于原点对称，是非奇非偶函数．

2－x4－x2fxD．h(x)＝＝x，x∈[－2,0)∪(0,2]，是奇函数．故选D.] 2－gx二、填空题

6．(2018·成都模拟)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1版权所有：中华资源库

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5时，f(x)＝4x，则f－2＋f(2)＝________. 1511

－2

[由题意得f－2＝f－2＝－f2＝－42＝－2，f(2)＝f(0)＝0，所以5f－2＋f(2)＝－2.] x＋2x＋a7．(2017·安徽蚌埠二模)函数f(x)＝是奇函数，则实数a＝________.

x－2

[由题意知，g(x)＝(x＋2)(x＋a)为偶函数，∴a＝－2.] 8．(2017·郑州模拟)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝x2，若对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，则f(2)－f(3)的值为________．

1

[由题意得f(2)＝f(－2＋4)＝f(－2)＝－f(2)，∴f(2)＝0. ∵f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(2)－f(3)＝1.] 三、解答题

9．若f(x)，g(x)是定义在R上的函数，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)1，求f(x)的表达式．

x－x＋11[解]

在f(x)＋g(x)＝2中用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝x－x＋11，

－x2－－x＋1＝2又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，

所以－f(x)＋g(x)＝1，

x＋x＋121fx＋gx＝2，x－x＋1联立方程1－fx＋gx＝2，x＋x＋1

111x－两式相减得f(x)＝2x2－x＋1x2＋x＋1＝42. x＋x＋12x10．已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝x. 4＋1(1)求f(1)和f(－1)的值；

(2)求f(x)在[－1,1]上的解析式.

[解]

(1)∵f(x)是周期为2的奇函数，

∴f(1)＝f(2－1)＝f(－1)＝－f(1)，

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∴f(1)＝0，f(－1)＝0. (2)由题意知，f(0)＝0.当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)．

由f(x)是奇函数，

2－x2x∴f(x)＝－f(－x)＝－－x＝－x，

4＋14＋12综上，在[－1,1]上，f(x)＝－，x∈－1，0，4＋10，x∈{－1，0，1}.xx2x，x∈0，1，4x＋1

B组

能力提升

(建议用时：15分钟) 1．(2018·石家庄模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝log3x＋1，x≥0则g(－8)＝(

) gx，x＜0，A．－2 C．2 B．－3 D．3

A

[当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝log3(1－x)，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－log3(1－x)，即g(x)＝－log3(1－x)，x＜0. 故g(－8)＝－log3[1－(－8)]＝－log39＝－2.故选A．] 2．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝ax＋1，－1≤x＜0，bx＋2，0≤x≤1，x＋1________．

13其中a，b∈R.若f2＝f2，则a＋3b的值为－10

[因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，

12b＋213111所以f2＝f－2，且f(－1)＝f(1)，故f2＝f－2，从而1＝－2a＋1，2＋1即3a＋2b＝－2.

①

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b＋2由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝2，即b＝－2A．

由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.] －x2＋2x，x＞0，②

3．已知函数f(x)＝0，x＝0，x2＋mx，x＜0(1)求实数m的值；

是奇函数，

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

[解]

(1)设x＜0，则－x＞0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)，于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，

所以m＝2. (2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，

要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．

a－2＞－1，结合f(x)的图象知

a－2≤1，所以1＜a≤3，

故实数a的取值范围是(1,3]．

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