小结教案设计

函数模型及其应用

复习教学目标：

1、使学生在掌握函数基本知识要点的基础上，学会用函数的观点、思想与方法分析、解决实际问题；

2、使学生学会正确理解题意，能够把实际问题转化为数学问题并灵活运用数学知识加以解决，提高学生数学建模、解模的能力．

复习教学重点：

提高学生应用函数的知识分析、解决问题的能力，采用研究、尝试、训练的方法解决．

复习教学难点：

根据已知条件建立函数关系式，把实际问题抽象、转化为数学问题，即建立数学模型．

教学设计：

一、基础梳理

1、几种常见的函数模型

(1) 一次函数模型：fxaxba、b为常数，a0；

(2) 二次函数模型：fxax2bxca、b、c为常数，a0；

(3) 指数函数模型：fxbaxca、b、c为常数，a0且a1，b0；

(4) 对数函数模型：fxblogaxca、b、c为常数，a0且a1，b0；

(5) 幂函数模型：fxaxnba、b为常数，a0．

2、三种增长型函数性质比较

yaxa1

在0，　+上的单调性

增长速度

图象的变化

相互关系

单调递增函数

ylogaxa1

单调递增函数

yxnn0

单调递增函数

越来越快

越来越慢

相对平稳

随x值的增大，图象随x值的增大，图象随n值的改变，图象有所不同

与y轴接近平行

与x轴接近平行

总存在一个x0，当xx0时，一定有logaxxnax

3、解答应用题的一般步骤

(1) 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，把握数学本质，选择数学模型；

(2) 建模：由题设中的数量关系，将文字语言转化为数学符号语言，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；

(3) 解模：运用数学知识和方法解决转化得出的数学问题；

(4) 还原：回到题目本身，检验求解结果的实际意义，得出结论．

二、小试身手

1．(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()

2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．

3．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是

A．甲比乙先出发

B．乙比甲跑的路程多

C．甲、乙两人的速度相同

D．甲比乙先到达终点

4．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0．3元，普通车存车费是每辆一次0．2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．

三、热门考点

(

) 考点一

二次函数模型

某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．

(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；

(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；

(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题

解题感悟; a考点二

函数y＝x＋模型的应用

x为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝k(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，3x＋5设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

解题感悟：

b(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝叠加而成的．

xb(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有时可以将所列函数关系式xb转化为f(x)＝ax＋的形式．

xb(3)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成x立的条件．

考点三

指数函数与对数函数模型

(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是

(

)

(参考数据：lg 1．12≈0．05，lg 1．3≈0．11, lg 2≈0．30) A．2018年

B．2019年

C．2020年

D．2021年

解题感悟：

(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．

(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．

四

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