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§3.2 习题课

课时目标

1.进一步体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性.2.掌握几种初等函数的应用.3.理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法．

1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为(

)

2．能使不等式log2x

) A．(0，＋∞)

B．(2，＋∞)

C．(－∞，2)

D．(0,2)∪(4，＋∞) 3．四人赛跑，假设其跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(

) A．f1(x)＝x2

B．f2(x)＝4x

C．f3(x)＝log2x

D．f4(x)＝2x

4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，

票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定

价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是______________．

5．如图所示，要在一个边长为150 m的正方形草坪上，修建两条宽相等且相互垂直的十字形道路，如果要使绿化面积达到70%，则道路的宽为____________________m(精确到0.01 m)．

一、选择题

11．下面对函数f(x)＝log1x与g(x)＝()x在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是(

) 22A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快

B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢

C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快

2．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(

) 1A．y＝ex

B．y＝100ln x

C．y＝x100

D．y＝100·2x

1003．一等腰三角形的周长是20，底边y是关于腰长x的函数，它的解析式为(

) A．y＝20－2x(x≤10)

B．y＝20－2x(x<10)

C．y＝20－2x(5≤x≤10)

D．y＝20－2x(5

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型号

重量

包装费

销售价格

则下列说法中正确的是(

) 小包装

100克

0.5元

3.00元

大包装

300克

0.7元

8.4元

①买小包装实惠

②买大包装实惠

③卖3小包比卖1大包盈利多

④卖1大包比卖3小包盈利多

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

5．某商店出售A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是(

) A．多赚约6元

B．少赚约6元

C．多赚约2元

D．盈利相同

6．某地区植被破坏、土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则下列函数中与沙漠增加数y万公顷关于年数x的函数关系较为相似的是(

) 122xA．y＝0.2x

B．y＝(x＋2x)

C．y＝

D．y＝0.2＋log16x

1010题

号

1

2

3

4

5

6 答

案

二、填空题

7．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供________人洗澡．

8．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是__________________．

9．已知甲、乙两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以50 km/h的速度返回甲地，把汽车离开甲地的距离s表示为时间t的函数，则此函数表达式为________．

三、解答题

10．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0eλt，其中N0，λ是正常数．

－

N0(1)说明该函数是增函数还是减函数；

(2)把t表示成原子数N的函数；

(3)求当N＝时，t的值．

2

11．我县某企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位是万元) (1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系；

(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企

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业获得最大利润，其最大利润约为多少万元(精确到1万元)．

能力提升

12．某乡镇现在人均一年占有粮食360 kg，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y kg粮食，求出函数y关于x的解析式．

13．如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝a(a>2)，BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝x，绿地面积为y. (1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域．

(2)当AE为何值时，绿地面积y最大？

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解决实际问题的解题过程：

(1)对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；

(2)建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学中，我们建立的函数模型一般都是基本初等函数；

(3)求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点，正确选择函数知识求得函数模

型的解，并还原为实际问题的解．

这些步骤用框图表示：

§3.2

习题课

双基演练

a1＋10.4%x1．D

[设某地区的原有荒漠化土地面积为a，则x年后的面积为a(1＋10.4%)，由题意y＝＝1.104x，ax故选D.] 2．D

[由题意知x的范围为x>0，由y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图象可知，当x>0时，log2x

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当x＝2,4时x2＝2x，故选D.] 3．D

[由于指数函数的增长特点是越来越大，故选D.] 0.5x

0

0.4x＋10

x>100

2×150x－x25．24.50解析

设道路宽为x，则×100%＝30%，解得x1≈24.50，x2≈275.50(舍去)．

150×150作业设计

1．C 2．A

[对于指数函数，当底数大于1时，函数值随x的增大而增大的速度快，又∵e>2，故选A.] 3．D

[∵20＝y＋2x，∴y＝20－2x，又y＝20－2x>0且2x>y＝20－2x，∴5

[买小包装时每克费用为38.42.832.8元，买大包装每克费用为＝元，而>，所以买大包装实惠，卖1003001001001003小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)．而2.3>2.1，卖1大包盈利多，故选D.] 23×2523×255．B

[设A、B两种商品的原价为a、b，则a(1＋20%)2＝b(1－20%)2＝23⇒a＝，b＝，a＋b－361646≈6(元)．] 2x6．C

[将(1,0.2)，(2,0.4)，(3,0.76)与x＝1,2,3时，选项A、B、C、D中得到的y值做比较，y＝的y值比较10接近，故选C.] 7．4 1717解析

设最多用t分钟，则水箱内水量y＝200＋2t2－34t，当t＝时y有最小值，此时共放水34×＝289(升)，22可供4人洗澡．

8．y＝0.9576x100

1解析

设每经过1年，剩留量为原来的a倍，则y＝ax，且0.957 6＝a100，从而a＝0.957 6，因此y＝0.957 1006x. 10060t

0≤t≤2.59．s＝150

2.5

325－50t

3.5≤t≤6.5解析

当0≤t≤2.5时s＝60t，当2.5

60t

0≤t≤2.5，综上所述，s＝150

2.5

3.5≤t≤6.5.

10．解

(1)由于N0>0，λ>0，函数N＝N0e值随时间t的增大而减少．

－λt是属于指数函数y＝ex类型的，所以它是减函数，即原子数N的－

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(2)将N＝N0e－λtNN11－写成eλt＝，根据对数的定义有－λt＝ln，所以t＝－(ln N－ln N0)＝(ln N0－ln N)．

N0N0λλN011N01(3)把N＝代入t＝(ln N0－ln N)，得t＝(ln N0－ln)＝ln 2. 2λλ2λ11．解

(1)投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2x，

115515由图知f(1)＝，∴k1＝，又g(4)＝，∴k2＝.从而f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝x(x≥0)．

442444(2)设A产品投入x万元，则B产品投入10－x万元，设企业的利润为y万元，

10－t25x51565y＝f(x)＋g(10－x)＝＋10－x(0≤x≤10)，令10－x＝t，则y＝＋t＝－(t－)2＋(0≤t≤10)，

44444216525当t＝，ymax≈4，此时x＝10－＝3.75,10－x＝6.25. 24所以投入A产品3.75万元，投入B产品6.25万元时，能使企业获得最大利润，且最大利润约为4万元．

12．解

设该乡镇现在人口量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M，

360M1＋4%经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)，人口量为M(1＋1.2%)，则人均占有粮食为；经M1＋1.2%360M1＋4%2360M1＋4%x过2年后，人均占有粮食为；…；经过x年后，人均占有粮食为y＝，即所求函数M1＋1.2%2M1＋1.2%x1.04x解析式为y＝360(). 1.0121113．解

(1)S△AEH＝S△CFG＝x2，S△BEF＝S△DGH＝(a－x)(2－x)．

22∴y＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△BEFa－x>0＝2a－x－(a－x)(2－x)＝－2x＋(a＋2)x.由2－x≥0a>222x>0

，得0

a＋2a＋2a＋22(2)当<2，即a<6时，则x＝时，y取最大值；

448当a＋2≥2，即a≥6时，y＝－2x2＋(a＋2)x在(0,2]上是增函数，

4则x＝2时，ymax＝2a－4. a＋2a＋22综上所述：当a<6，AE＝时，绿地面积取最大值；

48当a≥6，AE＝2时，绿地面积取最大值2a－4.

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