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专题二 函数与导数

考向一

函数的图象和性质

【高考改编☆回顾基础】

1．【函数的定义域与值域】【2016·全国卷Ⅱ改编】给出四个函数：①y＝x；②y＝lg x；③y＝2x；④y＝其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是________．

【答案】④[－2,2] 【解析】y＝10lg x1.x＝x，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有④中的函数满足题意．

．若2.

【分段函数及其性质】【2018年理新课标I卷改编】已知函数g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 .

A. [–1，0）

B. [0，+∞）

C.

D. [1，+∞）

【答案】[–1，+∞）

【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程故填[–1，+∞）.

有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，[来源:Zxxk.Com]

xyz3.

【指数函数、对数函数的图象和性质】【2017·全国卷Ⅰ改编】设x，y，z为正数，且2＝3＝5，则2x，3y，5z的大小关系是________．

【答案】3y<2x<5z

4.【函数的奇偶性、单调性、指数函数对数函数的性质】【2017·天津卷改编】已知奇函数f(x)在R上是增10.8函数，若a＝－flog2，b＝f(log24.1)，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系为________．

5【答案】clog24.1>2> 2，且函数f(x)在R上是5增函数，∴f(2)

6. 【函数的图象、导数的简单应用】【2018年理数全国卷II】函数

A. A

B. B

C. C

D. D

【答案】B 【解析】

为奇函数，舍去A,舍去D;

，所以舍去C；因此选B.

函数的图象与性质历来是高考的重点，也是热点，对于函数图象的考查体现在两个方面：一是识图；

二是用图，即通过函数的图象，利用数形结合的思想方法解决问题；对于函数的性质，主要考查函数单调性、奇偶性、周期性；函数的奇偶性、周期性往往与分段函数、函数与方程结合，考查函数的求值与计算；以指数函数、对数函数、二次函数的图象与性质为主，结合基本初等函数的性质综合考查分析与解决问题的能力；考查数形结合解决问题的能力等．

在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型,每年都有函数试题，而且常考常新．以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势．在大题中以导数为工具研究讨论函数的性质、不等式求解等综合问题.纵观近几年的高考题，函数问题的考查，往往是小题注重基础知识基本方法，突出重点知识重点考查，大题则注重在知识的交汇点命题，与不等式、导数、解析几何等相结合，综合考查函数方程思想及数学应用意识，考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用；考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力. 【典例分析☆提升能力】

【例1】【2018届北京市昌平临川育人学校12月月考】已知函数fx{的最大值为1,则a的取值范围是（ ）

A. ,1 B. 0,1 C. 0, D. 1,

22x1,x2,

(a0且a1)2logax,x211【答案】A 【解析】∵当x2时，

fxx1，∴fxmaxf21，∵函数fx{x1,x2,

（a02logax,x20a11且a1）的最大值为1，∴当x2时，

2logax1，∴{，故选A.

，解得a[,1）2loga21【趁热打铁】已知函数yx24x1的定义域为1,t，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5，则实数t的取值范围是（ ）学科网

A. 1,3 B. 2,3 C. 1,2 D. 2,3

【答案】B 【解析】∵

函数yx4x1

∴函数yx4x1是开口向上，对称轴为x2的抛物线

∵函数yx4x1的定义域为1,t

222

∴当x1时，

y2，当x2时，

y3

∵函数在定义域内函数的最大值与最小值之和为-5 ∴当y2时，

x1或x3

∴2t3

故选B 【例2】【2018届北京师范大学附属中学上期中】已知函数fx{2x1,x1log2x1,x1

，

gxx22x2m1若函数yfgxm

恰有6个不同的零点，则m的取值范围是( ) .A. 0,3 B. ,1 C. 0,1 D. 0,

【答案】D 【解析】∵函数fx{2352x1，x1log2x1，x12

，

gxx22x2m1．∴当gxx12m21时，即x132m时，则yfgx2gx12x14m3，当gxx12m21时，即x132m222时，则yfgxlog2x12m3，①当32m0，即m3时，

ym只与223yfgxlog2x12m3的图象有两个交点，不满足题意，应该舍去；②当m时，

ym22与yfgxlog2x12m3的图象有两个交点，需要直线ym与函数2yfgx2gx12x14m3的图象有四个交点时才满足题意，∴0m34m，又2m333，解得0m，综上可得：

m的取值范围是0m，故选D．

255x2(4a3)x3a,x0,【趁热打铁】已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方loga(x1)1,x0程|f(x)|2x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（

）

（A）（0，22312]

（B）[，]

（C）[，]33334{312}（D）[，）334{3} 4【答案】C

2【例3】已知定义在R上的奇函数fx满足:当x0时，fxx3，若不等式f4tf2mmt对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（

）

C. ,0【答案】A A．,2 B．2,0

2, D．,2[来源:学科网ZXXK]2,

【解析】当x0时，fxf(x)x3f(x)x3(xR)f(x)在R上是增函数

4t2mmt2对任意实数t恒成立4tmt24t2m对任意实数t恒成立

m0m,2，故选A. 2168m0【趁热打铁】已知f(x)＝2－1，g(x)＝1－x，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|

) A．有最小值－1，最大值1 B．有最大值1，无最小值

C．有最小值－1，无最大值

D．有最大值－1，无最小值

【答案】C 【解析】由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图，

而h(x)＝－x2，，，，

故h(x)有最小值－1，无最大值．

【方法总结☆全面提升】

1.函数三个性质的应用

(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．

(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．

(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．

2.函数方程问题求解策略

(1)判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．

(2)已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转化为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解．

(3)对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

【规范示例☆避免陷阱】

【典例】函数fx＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的奇偶性是(

) A．奇函数

B．偶函数

C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数

【规范解答】为使函数有意义，须x10,x1，即函数的定义域为(1,)，故函数是非奇非偶函数，x10

选C.

【反思提高】研究函数必须遵循“定义域优先”的原则，先考虑定义域，实施数学式子变形，应注意变量取值范围的变化．【误区警示】

本题解答易于忽视函数的定义域的限制致误．因为由lg(x＋1)＋lg(x－1)＝lg(x2－1)将原来函数的定义域[来源:学#科#网Z#X#X#K]

{x|x1}扩大为{x|x2－10}{x|x1或x1}.二误认为是偶函数.

考向二

导数运算及几何意义

【高考改编☆回顾基础】

1．【导数的几何意义】【2018年理新课标I卷】设函数在点A. 处的切线方程为

C.

D.

，若为奇函数，则曲线

B. 【答案】D

2. 【导数的几何意义、直线方程】【2017天津，文10】已知aR，设函数f(x)axlnx的图象在点（1，f(1)）处的切线为l，则l在y轴上的截距为

. 【答案】1

【解析】

【命题预测☆看准方向】

导数的几何意义问题的类型主要有:一是利用导数求曲线的切线方程；二是判断直线与曲线的位置关系；三是研究切线的斜率或倾斜角；

题型主要是选择题或填空题题,文科多是命制导数的几何意义、利用导数研

究函数的性质综合问题. 【典例分析☆提升能力】

【例1】【2018年全国卷Ⅲ理】曲线【答案】【解析】

，则，所以，故答案为-3.

在点处的切线的斜率为，则________．

【趁热打铁】曲线yaxcosx16在xA．2处的切线与直线yx1平行，则实数a的值为（

）

2 B． C． D．222

【答案】A

【解析】因为yaxcosx16fx，所以f'xacosxaxsinx，又因为曲线yaxcosx16在x2处的切线与直线yx1平行，所以f'a2，故选A. 1a22【例2】【2016年高考四川理数】设直线l1，l2分别是函数f(x)= lnx,0x1,图象上点P1，P2处的切线，lnx,x1,l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是(

) （A）(0,1)

（B）(0,2)

（C）(0,+∞)

（D）(1,+∞) 【答案】A 【解析】设P（不妨设x11,0x21），则由导数的几何意义易得切线l1,l21x1,lnx1,P2x2,lnx2的斜率分别为k1111,k2.由已知得k1k21,x1x21,x2.切线l1的方程分别为x1x1x2ylnx111xx1，切线l2的方程为ylnx2xx2，即ylnx1x1x1.分别令x1x2x1x11，2x11x12x0得A0,1lnx1,B0,1lnx1.又l1与l2的交点为P，,lnx1221x11x1SPAB2x11x121yAyBxP1，0SPAB1．故选A．

2221x11x1【趁热打铁】【2017天津，文10】已知aR，设函数f(x)axlnx的图象在点（1，f(1)）处的切线为l，

则l在y轴上的截距为

. 【答案】1

【解析】

【方法总结☆全面提升】

与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略

(1)已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：

①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；

②由点斜式求得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．

(2)已知斜率求切点：已知斜率R，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k. (3)求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决. 【规范示例☆避免陷阱】

1344)的切线方程；

x，求曲线过点P(2，3314144)的切线相切于点A【规范解答】设曲线yx3与过点P(2，，则切线的斜率(x0，x03）33331423422ky|xx0x02，∴切线方程为y（x03）=x0（x-x0），即yx0xx0

333324323224)在切线上，∴42x02x03，即x0∵点P(2，3x040，∴x0x04x040，

33【典例】已知曲线y（x01）∴x020，解得x01或x02，故所求的切线方程为4xy40或xy20. 24)的切线方程”与“该曲线在点P(2，4)处的切线方程”是有区别的：过点

【反思提升】该曲线过点P(2，P(2，4)的切线中，点P(2，4)不一定是切点；在点P(2，4)处的切线，点P(2，4)是切点.

4)的切线方程”与“该曲线在点P(2，4)处的切线方程”的区别，导致漏【误区警示】易忽视“曲线过点P(2，解.

考向三

利用导数研究函数的性质

【高考改编☆回顾基础】

1．【利用导数研究函数的单调性】【2017·天津卷改编】设a，b∈R，|a|≤1.已知函数f(x)＝x3－6x2－3a(a

－4)x＋b，则f(x)的单调递减区间为________．

【答案】(a，4－a)

【解析】

f′(x)＝3x－12x－3a(a－4)＝3(x－a)[x－(4－a)]，

令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝4－a. 由|a|≤1，得a<4－a，所以由f′(x)<0，解得f(x)的单调递减区间为(a，4－a)．

2. 【利用导数研究函数的极值】【2017·全国卷Ⅱ改编】若x＝－2是函数f(x)＝(x＋ax－1)e则f(x)的极小值为________．

【答案】－1

【解析】－1 [解析] f′(x)＝[x＋(a＋2)x＋a－1]e222x－1的极值点，x－1.因为x＝－2是函数f(x)的极值点，所以f′(－22)＝0，所以4－2(a＋2)＋a－1＝0，解得a＝－1，此时f′(x)＝(x＋x－2)ex－1.由f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝1，且当－2＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，故x＝1为f(x)的极小值点，所以f(x)的极小值为f(1)＝－1. 3.

【利用导数研究函数的最值】【2018年江苏卷】若函数个零点，则【答案】–3

在上的最大值与最小值的和为________．

在内有且只有一

4. 【利用导数研究函数的零点】【2015·全国卷Ⅰ改编】设函数f(x)＝e－aln x，若a＝4，则f(x)的导函数f′(x)的零点有________个．

【答案】1

42x【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e－(x>0)．

2xx412x因为y＝e单调递增，y＝－单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′＝2e－8<0，所以x2f′(x)存在唯一零点．

【命题预测☆看准方向】

导数试题的类型主要有:一是利用导数求曲线的切线方程和判断直线与曲线的位置关系;二是利用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性,求函数的极值或最值;三是利用导数解决与函数零点有关的问题;四是利用导数解决不等式和求参数范围的问题.通过函数与导数综合考查单调性和最值问题仍然是热点,也是难点.选择题、填空题往往侧重于利用导数确定函数的单调性和极值，一般属于低档题目；解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识的综合应用，一般难度较大，属于中高档题．预测2019年的高考，不但出现考查求导法则、导数的几何意义等问题的小题，还必有考查导数的综合应用大题．

【典例分析☆提升能力】

【例1】【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联测】已知函数．

(1)若，证明：当；学科=网

(2)设，若函数上有2个不同的零点，求实数的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）【解析】

（1）当a=1时.. . 因为所以，所以在，

时单调递减，

所以，即. （2）法一：（i）当时，

没有零；

①若，即时，在上没有零点；

②若，即时，在上只有1个零点；

③若，即时，由于时，，

，

，所以在（0，2）上有1个零点，

由（1）知，当因为所以故在（2，4a）上有1个零点，因此在. 上有2个不同的零点。

综上，在上有2个不同的零点时，a的取值范围是. 法二：因为，

所以在上零点的个数即为方程在上根的个数。

令. 则令当得x=2.

时，，

，当时，，

所以当当时，时，单调递增，

单调递减，

所以在上的最大值为时，，

，

由（1）知，当即当时，

因为当x无限增大时，→0，所以当x无限增大时，→0，

又因为，所以当且仅当时，

函数在上的图象与直线恰好有2个不同的交点，

即当且仅当a>一时，函数h（x）在（0，+oo）上有2个不同的零点，

故在上有2个不同的零点时，a的取值范围是2

【趁热打铁】设函数fx1x2ln1x.

(1)求函数f(x)的单调区间; (2)若关于x的方程fxxxa在[0,2]上恰有两个相异实根,求实数a的取值范围.

2【答案】

2【解析】(1)函数的定义域为(-1,+∞),因为f(x)=(1+x)-2ln(1+x), 所以f'(x)=2

由f'(x)>0,得x>0;由f'(x)<0,得-1

故f(x)的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-1,0).

2(2)方程f(x)=x+x+a, 即x-a+1-2ln(1+x)=0, 记g(x)=x-a+1-2ln(1+x)(x>-1),则g'(x)=1-由g'(x)>0,得x>1;由g'(x)<0,得-1

,

所以g(x)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增.

2为使f(x)=x+x+a在[0,2]上恰有两个相异的实根,只须g(x)=0在[0,1)和(1,2]上各有一个实根, 于是有解得2-2ln 2

故实数a的取值范围是(2-2ln 2,3-2ln 3].

【例2】【福建省莆田第九中学2018届12月月考】已知函数fxlnax1xxax.

32（1）若x2为fx的极值点，求实数a的值；

3（2）若yfx在1,上为增函数，求实数a的取值范围；

（2）若a1使方程f1x1x3b有实根，求实数b的取值范围.

x【答案】（1）a0

（2）0a【解析】

15（3）,0

222x3a32axa2a

23x2xa

（1）fxax1ax1∵x22为fx的极值点，∴f0

332222∴3a32aa220且a10∴a0

333又当a0时，

fxx3x2，从而x（2）因为fx在1,上为增函数，

2为fx的极值点成立.

322x3ax32axa20在1,上恒成立.

所以ax1若a0，则fxx3x2，∴fx在1,上为增函数成立

若a0，由ax10对x1恒成立知a0.

22所以3ax32axa20对x1,上恒成立.



22令gx3ax32axa2，其对称轴为x11，

32a因为a0，所以111，从而gx在1,上为增函数.

32a3所以只要g10即可，即a2a10

所以151515又因为0a

a2223（3）若a1时，方程f1x1xb

x可得lnx1x1x22b

x23即bxlnxx1xx1xxlnxxx在x0上有解

即求函数gxxlnxxx的值域.

23bxlnxxx2令hxlnxxx2

由hx2x11x112x∵x0∴当0x1时，

hx0，

xx从而hx在0,1上为增函数；当x1时，

hx0，从而hx在1,上为减函数.

∴hxh10，而hx可以无穷小.∴b的取值范围为,0.

【趁热打铁】【2018届福建省三明市第一中学第一次月考】设函数. （1）若（2）若时，取得极值，求的值；

在其定义域内为增函数，求的取值范围. ；(2). 【答案】(1) 【解析】

(1)因为

即 (2)时，取得极值，所以． .方程时，的判别式, , ， 故的定义域为, 即（Ⅰ）

当

在（Ⅱ）当要使设, 即内恒成立, 此时或为增函数. 时，

内有即可, 在定义域，

内为增函数, 只需在由 得

, 所以. . ，其中为自然对数的底数.

由(1) (2)可知,若在其定义域内为增函数，的取值范围是【例3】【四川省乐山市2019届第一次调研】已知函数（1）若（2）若，求证：时，

；

，求实数的取值范围.

【答案】(1)见证明；(2)【解析】

（1）由当当故又所以函数且当综上当（2）因为当所以则有又因为.

，所以若时，，有时，，时，令在，可知函数在.

，，得，显然成立.

.

，则，

为增函数.

在的最小值为为减函数，在，

上为增函数，

，所以成立.

，

，

成立，

，则有

.

令当当故得当这与综上.[来源:学§科§网]

时，时，

，使得，则，函数，函数，

在在，由上单调递减，

上单调递增，

，得.

时，存在成立，

，又.

，

矛盾，所以，即实数的取值范围x2【趁热打铁】【2018届黑龙江省大庆实验中学第二次月考】已知函数fxesinxax2ae，其中aR,e=2.71828…为自然数的底数. （1）当a0时，讨论函数fx的单调性；

（2）当1a1时，求证：对任意的x0,，

fx0. 2【答案】(1)f（x）在R上单调递减.(2)证明见解析. 【解析】

（1）当a=0时，f（x）=e（sinx﹣e），

则f′（x）=e（sinx﹣e）+ecosx=e（sinx﹣e+cosx），

∵sinx+cosx= 2sinx∴sinx+cosx﹣e＜0 故f′（x）＜0 则f（x）在R上单调递减. （2）当x≥0时，y=e≥1，

要证明对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0. 2isxax2ae0则只需要证明对任意的x∈[0，+∞），nxxxxx2e、

4

设g（a）=sinx﹣ax+2a﹣e=（﹣x+2）a+sinx﹣e，

看作以a为变量的一次函数，

要使sinx﹣ax+2a﹣e＜0，

222

11g0sinxx21e0,①

，

则{2

，即{2sinxx22e0，②g10∵sinx+1﹣e＜0恒成立，∴①恒成立，

对于②，令h（x）=sinx﹣x+2﹣e，

则h′（x）=cosx﹣2x，

设x=t时，h′（x）=0，即cost﹣2t=0. ∴t=2cost11，sint＜sin

2262∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，

则当x=t时，函数h（x）取得最大值h（t）=sint﹣t+2﹣e=sint﹣（2cost2）+2﹣e 21sin2t17sint52327223=sint﹣+2﹣e=sint+sint+﹣e=（+1）+﹣e≤（）+﹣e=﹣e＜0，

442444164故④式成立，

综上对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0.[来源:Zxxk.Com]

，曲线

在点处的切【例4】【东北师大附中2018届四模】已知函数线方程为4x-2y-3=0.学科_+网

(1) 求的值；

(2) 证明:f(x)>lnx . 【答案】（1）【解析】

；（2）见解析

（1）解：，由题意有.设，解得

（2）证明：（方法一）由（1）知，则只需证明

，设

则，

在上单调递增

，

，使得且当当当时，时，时，，当，，

时，单调递减

单调递增

，由，得，

设当

（方法二）先证当设，，在时，

时，则在，，

，在单调递减，

，

，因此，即证，且

单调递增，时，单调递增，则当（也可直接分析再证设且当当

时，时，

，则，，

显然成立）

，令单调递减；

单调递增.

，即，得

又，

.

【趁热打铁】【福建省福州市2019届第一学期质量抽测】已知函数（1）求曲线（2）函数在点与函数处的切线方程；

的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，.

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）求证：.

【答案】（1）【解析】

（2）（ⅰ），（ⅱ）见解析

（1）解：由已知得，

∴曲线在点∴，又∵处的切线方程为：

，

，

.

，

（2）（ⅰ）令∴由得，；由得，易知，为极大值点，

又即函数在时，当时也有负值存在.

，

时，

时有负值存在，在由题意，只需满足∴的取值范围是：

令∴.

，则

∵所以，所以，所以，，∴，即在，∴.

，即上为增函数，

成立.

【方法总结☆全面提升】

1.求解或讨论函数单调性问题的解题策略

讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：

(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．

(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．

[注意] 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．

2.利用导数研究函数极值、最值的方法

(1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．

(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．

(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．

【规范示例☆避免陷阱】

【典例】【2017·全国卷Ⅰ】已知函数f(x)＝ae＋(a－2)e－x. (1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围． 【规范解答】 (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae＋(a－2)e－1＝(ae－1)(2e＋1).2分

(i)若a≤0，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递减.1分

(ii)若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝－ln a. 当x∈(－∞，－ln a)时，f′(x)＜0；

当x∈(－ln a，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以f(x)在(－∞，－ln a)单调递减，在(－ln a，＋∞)

单调递增.2分

2x2xxxxx

(2)(i)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点.1分

1(ii)若a＞0，由(1)知，当x＝－ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(－ln a)＝1－＋ln a. a①当a＝1时，由于f(－ln a)＝0，故f(x)只有一个零点；1分

1②当a∈(1，＋∞)时，由于1－＋ln a＞0，

a即f(－ln a)＞0，故f(x)没有零点；1分

1③当a∈(0,1)时，1－＋ln a＜0，即f(－ln a)＜0. a又f(－2)＝ae＋(a－2)e＋2＞－2e＋2＞0，

故f(x)在(－∞，－ln a)有一个零点．

3设正整数n0满足n0＞ln－1，

－4－2－2a则f(n0)＝en0(aen0＋a－2)－n0＞en0－n0＞2n0－n0＞0. 3由于ln－1＞－ln a，因此f(x)在(－ln a，＋∞)有一个零点．

a综上，a的取值范围为(0,1).4分

【反思提升】本题主要考查导数的运算以及导数的应用，函数的单调性，函数的零点等知识，意在考查考生的运算求解能力、分析问题与解决问题的能力．学科网

(1)对函数求导，导函数含有参数，需要对参数进行分类讨论，来判断函数的单调性；(2)结合第一问函数的单调性，判断函数存在两个零点的条件，进而确定参数的范围．

【误区警示】1．牢记求导法则，正确求导：在函数与导数类解答题中，通常都会涉及求导，正确的求导是解题关键，因此要牢记求导公式，做到正确求导，解题时应先写出函数定义域．

2．注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解．

3．注意分类讨论：高考函数与导数解答题，一般都会涉及分类讨论，并且讨论的步骤也是得分点，所以一定要重视分类讨论．

4．写全得分关键：在函数与导数问题中，求导的结果、分类讨论的条件、单调区间、零点等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚．