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函数的单调性与最值

[最新考纲] 1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．

2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性.

知

识

梳

理

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2

定义

当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数

当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象

描述

(2)单调区间的定义

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

(1)对于任意x∈I，都有条件

f(x)≤M；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 结论

[感悟·提升] 1．一个区别

“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．

2．两个防范

一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调；

二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集.

考点一

确定函数的单调性或单调区间

k【例1】

(1)判断函数f(x)＝x＋x(k＞0)在(0，＋∞)上的单调性．

(2)(2013·沙市中学月考)求函数y＝log1(x2－4x＋3)的单调区间．

3M为最大值

M为最小值

kk解

(1)法一

任意取x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝x1＋x－x2＋x＝(x1－x2)＋12kx2－x1kkk1－x－x＝(x1－x2)＋. x1x2x1x2＝(x1－x2)12k当k≥x1＞x2＞0时，x1－x2＞0,1－xx＜0，

12有f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

k此时，函数f(x)＝x＋x(k＞0)在(0，k]上为减函数；

k当x1＞x2≥k时，x1－x2＞0,1－xx＞0，

12有f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，

k此时，函数f(x)＝x＋x(k＞0)在[k，＋∞)上为增函数；

k综上可知，函数f(x)＝x＋x(k＞0)在(0，k]上为减函数；在[k，＋∞)上为增函数．

(2)令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝log1u与u＝x2－4x＋3的复合函数．

3令u＝x2－4x＋3＞0.则x＜1或x＞3. ∴函数y＝log1(x2－4x＋3)的定义域为

3(－∞，1)∪(3，＋∞)．

又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，

∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y＝log13u在(0，＋∞)上是减函数，

∴y＝log1(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．

3规律方法

(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．

(2)复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．

【训练1】

试讨论函数f(x)＝解

法一

(定义法) 任取－1＜x1＜x2＜1，

则f(x1)－f(x2)＝ax1ax2－2

2x1－1x2－1ax，x∈(－1,1)的单调性(其中a≠0)．

x－12ax2－x1x1x2＋1＝，

2x21－1x2－1∵－1＜x1＜x2＜1，

∴|x1|＜1，|x2|＜1，x2－x1＞0，

2x1－1＜0，x22－1＜0，|x1x2|＜1，

即－1＜x1x2＜1，

∴x1x2＋1＞0，

x2－x1x1x2＋1∴2＞0，

x1－1x22－1

因此，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，

即f(x1)＞f(x2)，此时函数在(－1,1)为减函数；

当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，

即f(x1)＜f(x2)，此时函数在(－1,1)为增函数．

考点二

利用单调性求参数

【例2】

已知函数f(x)＝ax－1. x＋1(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递减．

(2)函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，求实数a的取值范围．

(1)证明

任设x1＜x2＜－2，

则f(x1)－f(x2)＝－2x1－1－2x2－1－

x1＋1x2＋1x1－x2＝－. x1＋1x2＋1∵(x1＋1)(x2＋1)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，

∴f(x1)＞f(x2)，

∴f(x)在(－∞，－2)上单调递减．

ax－1a＋1(2)解

法一

f(x)＝＝a－，设x1

x＋1x＋1a＋1a＋1－a－

则f(x1)－f(x2)＝a－x1＋1x2＋1a＋1a＋1a＋1x1－x2＝－＝，

x2＋1x1＋1x1＋1x2＋1又函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，

所以f(x1)－f(x2)>0. 由于x1

∴x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0，

∴a＋1<0，即a<－1. 故a的取值范围是(－∞，－1)．

规律方法

利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；

二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f(x1)－f(x2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．

【训练2】

(1)函数y＝x－5在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(

)．

x－a－2A．{－3}

B．(－∞，3)

C．(－∞，－3]

D．[－3，＋∞) (2)(2014·日照模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝a的取值范围是(

)．

A．(－1,0)∪(0,1)

B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1)

D．(0,1] 答案

(1)C

(2)D 考点三

利用函数的单调性求最值

x2＋2x＋a【例3】

已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．

x1(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；

(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

1审题路线

(1)当a＝2时，f(x)为具体函数→求出f(x)的单调性，利用单调性求最值．

(2)当x∈[1，＋∞)时，f(x)＞0恒成立→转化为x2＋2x＋a＞0恒成立．

111解

(1)当a＝2时，f(x)＝x＋2x＋2，联想到g(x)＝x＋x的单调性，猜想到求f(x)的最值可先证明f(x)的单调性．任取1≤x1＜x2，

1x1－x22x1x2－11－则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋2x2x＝，

2x1x212∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0. 又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)，

∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

7∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝2. a在区间[1,2]上都是减函数，则x＋1

x2＋2x＋a(2)在区间[1，＋∞)上，f(x)＝＞0恒成立，

x22x＋2x＋a＞0，a＞－x＋2x，则⇔等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在x≥1x≥1，

[1，＋∞)上的最大值．

只需求函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．

φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，

∴当x＝1时，φ(x)最大值为φ(1)＝－3. ∴a＞－3，故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．

规律方法

求函数最值的常用方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；

(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；

(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．

x1，x1≥x2，【训练3】

对任意两个实数x1，x2，定义max(x1，x2)＝若f(x)＝x，x＜x，212x2－2，g(x)＝－x，则max(f(x)，g(x))的最小值为________．

解析

f(x)－g(x)＝x2－2－(－x)＝x2＋x－2，当x2－2－(－x)＝x2＋x－2≥0时，x≥1或x≤－2；当－2＜x＜1时，x2＋x－2＜0，即f(x)＜g(x)，所以max(f(x)，－x，－2＜x＜1，g(x))＝2作出图象如图所示，由图象可知函数的最小值x－2，x≥1或x≤－2，

在A处取得，所以最小值为f(1)＝－1. 答案

－1

1．求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质．

2．复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．

3．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用．

易错辨析1——分段函数单调性的判定

ax，x＞1，【典例】

(2013·金华模拟)f(x)＝a4－2x＋2，x≤1，则实数a的取值范围是(

)．

A．(1，＋∞)

B．[4,8)

C．(4,8)

D．(1,8) [错因]

忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小．

是R上的单调递增函数，4－a2＞0，[正解]

f(x)在R上单调递增，则有a4－2＋2≤a，解得：4≤a＜8. [答案]

B a＞1，

[防范措施]

对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学

会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法．

【自主体验】

3a－1x＋4a，x＜1，(2013·日照模拟)已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，logax，x≥1，那么a的取值范围是(

)．

1A．(0,1)

B.0，3



C.117，3

答案

C

D.17，1