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关键词：实习作业教学设计与反思

正文

§2.3

函数的奇偶性与周期性

最新考纲

考情考向分析

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．

3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.

1．函数的奇偶性

奇偶性

偶函数

定义

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

图象特点

关于y轴对称

奇函数

2.周期性

关于原点对称

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

知识拓展

1．函数奇偶性常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

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2．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．

(2)若f(x＋a)＝1，则T＝2a(a>0)．

fx1(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．

fx

题组一

思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(

) (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(

√

) (3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．(

√

) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(

√

) (5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(

√

) 题组二

教材改编

2．[P39A组T6]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________. 答案

－2 解析

f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，

∴f(－1)＝－f(1)＝－2. 3．[P45B组T4]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x＜0，3则f2＝______. x，0≤x＜1，

答案

1 311－＝－4×－2＋2＝1. 解析

f＝f2224．[P39A组T6]设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．

答案

(－2,0)∪(2,5] 解析

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当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x<－2时，f(x)>0. 综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．

题组三

易错自纠

5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(

) 1111A．－B.C．－D.

3322答案

B 解析

依题意得f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a，

11∴a＝，∴a＋b＝，故选B. 336．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________. 答案

3 解析

∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)．

又f(x)的图象关于直线x＝2对称，

∴f(1)＝f(3)．∴f(－1)＝3.

题型一

判断函数的奇偶性典例判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝3－x2＋x2－3；

lg1－x2(2)f(x)＝；

|x－2|－22x＋x，x＜0，(3)f(x)＝2

－x＋x，x＞0.23－x≥0，解

(1)由2得x2＝3，解得x＝±3，

x－3≥0，

即函数f(x)的定义域为{－3，3}，

∴f(x)＝3－x2＋x2－3＝0. ∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，

∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．

21－x＞0，(2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．

|x－2|≠2，

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lg1－x2∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝. －xlg[1－－x2]lg1－x2又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，

xx∴函数f(x)为奇函数．

(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x＜0时，－x＞0，

则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；

当x＞0时，－x＜0，

则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；

综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，

∴函数f(x)为奇函数．

思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．

在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．

跟踪训练

(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(

) A．y＝x＋sin2x

1C．y＝2x＋x

2答案

D 解析

对于A，f(－x)＝－x＋sin2(－x) ＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；

对于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，为偶函数；

11－对于C，f(－x)＝2x＋－x＝2x＋x＝f(x)，为偶函数；

22对于D，y＝x2＋sinx既不是偶函数也不是奇函数．

(2)函数f(x)＝lg|sinx|是(

) A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为2π的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数

D．最小正周期为2π的偶函数

答案

C 解析

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B．y＝x2－cosx

D．y＝x2＋sinx

是最小正周期为π的偶函数．

题型二

函数的周期性及其应用

1．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝x1－x，0≤x≤1，2941则f4＋f6＝________. sinπx，1

答案

16解析

由于函数f(x)是周期为4的奇函数，

2941372×4－＋f2×4－

所以f＋f＝f46463737－＋f－＝－f－f

＝f46463π5＝－＋sin＝. 166162．(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6x，则f(919)＝________. －答案

6 解析

∵f(x＋4)＝f(x－2)，

∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，

∴f(x)是周期为6的周期函数，

∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．

又f(x)是定义在R上的偶函数，

∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6. 3．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝________. 答案

339 解析

∵f(x＋6)＝f(x)，∴周期T＝6. ∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；

当－1≤x<3时，f(x)＝x，

∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，

f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，

f(6)＝f(0)＝0，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，

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又f(2017)＝f(1)＝1，f(2018)＝f(2)＝2，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝339. 思维升华函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．

题型三

函数性质的综合应用

命题点1

求函数值或函数解析式

典例

(1)(2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________. 答案

12 解析

方法一

令x＞0，则－x＜0. ∴f(－x)＝－2x3＋x2. ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)．

∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．

∴f(2)＝2×23－22＝12. 方法二

f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. (2)(2016·全国Ⅲ改编)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝ex1－x，x≤0，e答案

x－1

e＋x，x＞0－－－x－1－x，则f(x)＝________.

解析

∵当x＞0时，－x＜0，

∴f(x)＝f(－x)＝ex1＋x，

－x1－x，x≤0，e∴f(x)＝x－1

e＋x，x＞0.－－

命题点2

求参数问题

x＋2x＋k典例

(1)设函数f(x)＝为奇函数，则k＝____. tanx答案

－2 解析

∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

x＋2x＋k－x＋2－x＋k∴＝－，

tanxtan－x∴(x＋2)(x＋k)＝(2－x)(k－x)，

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x＋2x＋kx＋2k＝2k－kx－2x＋x2，∴k＝－2. ax＋1，－1≤x<0，(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝bx＋2，0≤x≤1，x＋113其中a，b∈R.若f2＝f2，则a＋3b的值为________．

答案

－10 解析

因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，

31所以f2＝f－2且f(－1)＝f(1)，

11故f2＝f－2，

1b＋221从而＝－a＋1，即3a＋2b＝－2.①

12＋12b＋2由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝，即b＝－2a.②

2由①②得a＝2，b＝－4，

从而a＋3b＝－10. 命题点3

利用函数的性质解不等式

fx2－fx1典例

(1)已知定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，x2－x1则(

) A．f(3)

C．f(－2)

答案

A 解析

由题意知f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)，

又x∈[0，＋∞)时，f(x)为减函数，且3>2>1，

∴f(3)

答案

(－∞，－2)∪(2，＋∞) x<0，x>0，解析

由x·f(x)<0，得或

fx>0fx<0.2

B．f(1)

∵f(x)为奇函数，在(－∞，0)上是减函数，f(－2)＝0，

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x<0，∴由解得x<－2；

fx>0，x>0，由解得x>2，

fx<0，

∴x·f(x)<0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．

思维升华

(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．

(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：

①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0. 跟踪训练

(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f(lgx)<0，则x的取值范围是(

) A．(0,1)

C．(1，＋∞)

答案

A 解析

由题意，函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0，不等式f(lgx)<0＝f(0)等价于lgx<0，故0

故选A. (2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(

) A．f(－25)

D 解析

因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，

所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．

由f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．

因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，

所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，

所以f(－1)

函数的性质

www.ziyuanku.com B．(1,10) D．(10，＋∞)

起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．

一、函数性质的判断

1x典例1 (1)(2017·北京)已知函数f(x)＝3x－3，则f(x)(

) A．是偶函数，且在R上是增函数

B．是奇函数，且在R上是增函数

C．是偶函数，且在R上是减函数

D．是奇函数，且在R上是减函数

(2)(2017·荆州模拟)下列函数：

11①y＝sin3x＋3sinx; ②y＝x－；

e＋12－x＋1，x≤0，1－x③y＝lg；④y＝

1＋x－x－1，x>0，

其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的个数为(

) A．1B．2C．3D．4 (3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：

①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．

其中正确命题的序号是________．

解析

(1)∵函数f(x)的定义域为R，

1－x1x－xf(－x)＝3x－3＝3－3＝－f(x)，

∴函数f(x)是奇函数．

1x∵函数y＝3在R上是减函数，

1x∴函数y＝－3在R上是增函数．

又∵y＝3x在R上是增函数，

1x∴函数f(x)＝3x－3在R上是增函数．

(2)易知①中函数在(0,1)上为增函数；④中函数不是奇函数；满足条件的函数为②③. (3)由f(x)＋f(x＋2)＝0可得

f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

∴函数f(x)的周期是4，①对；由f(4－x)＝f(x)，

可得f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，②对；f(4－x)＝f(－x)且f(4－x)＝f(x)，

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∴f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，③对．

答案

(1)B

(2)B

(3)①②③

二、函数性质的综合应用

典例2 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)13时，f(x)＝－x2，则f2等于(

) 9119A．－B．－C.D.

4444解析

由f(x－2)＝f(x＋2)，可知函数f(x)的最小正周期T＝4，又由于该函数是奇函数，

1353339－＝－f＝－－2＝. 故f＝f＝f222224答案

D ax＋2018－在[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．

(2)函数f(x)＝log2xa解析

由已知函数y＝x＋2018－在[1，＋∞)上是增函数，且y＞0恒成立．

xa∵y′＝1＋2，令y′≥0得a≥－x2(x≥1)，∴a≥－1. x又由当x＝1时，y＝1＋2018－a＞0，得a＜2019. ∴a的取值范围是[－1,2019) . 答案

[－1,2019)

(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a1|)－＞f(－2)，则a的取值范围是________．

解析

∵f(2|a1|)＞f(－2)＝f(2)，

－又由已知可得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，

∴2|a－1|113＜2＝2，∴|a－1|＜，∴＜a＜. 2221213答案

2，2

1．下列函数为偶函数的是(

) A．f(x)＝x－1 C．f(x)＝2x－2x

－B．f(x)＝x2＋x

D．f(x)＝2x＋2x

－答案

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解析

函数f(x)＝x－1和f(x)＝x2＋x既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和B；选项C中，f(x)＝2x－2x，则f(－x)＝2x－2x＝－f(x)，且定义域为R，所以f(x)＝2x－2x为奇函数，－－－

排除选项C；选项D中，f(x)＝2x＋2x，则f(－x)＝2x＋2x＝f(x)，所以f(x)＝2x＋2x为偶函－－－数，故选D. 2．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(

) A．奇函数，且在(0,1)上是增函数

B．奇函数，且在(0,1)上是减函数

C．偶函数，且在(0,1)上是增函数

D．偶函数，且在(0,1)上是减函数

答案

A 解析

易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，21＋x又f(x)＝ln＝ln－1＋1－x，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数，故1－x选A. 3．(2017·江西南城一中模拟)已知R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝x2＋x－1，则f(f(－1))等于(

) A．－1B．1C．2D．－2 答案

A 解析

∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－1，

∴f(f－1)＝f(－1)＝－1. 3－，0时，

4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x∈2f(x)＝log2(－3x＋1)，则f(2021)等于(

) A．4B．2C．－2D．log27 答案

C 解析

∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，∴f(2021)＝f(4×505＋1)＝f(1)33－，0，且当x∈－，0时，

＝－f(－1)．∵－1∈22f(x)＝log2(－3x＋1)，

∴f(－1)＝log2[－3×(－1)＋1]＝2，

∴f(2021)＝－f(－1)＝－2. 1－5．若f(x)＝ex－aex为奇函数，则f(x－1)＜e－的解集为(

) eA．(－∞，2)

C．(2，＋∞)

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答案

A 解析

因为f(x)＝ex－aex为奇函数，所以f(0)＝1－a＝0，即a＝1，则f(x)＝ex－ex在R上－－11单调递增，且f(1)＝e－.则由f(x－1)＜e－，得f(x－1)＜f(1)，即x－1＜1，解得x＜2，所ee1以不等式f(x－1)＜e－的解集为(－∞，2)．

e6．已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(

) A．f(0)＜f(－6.5)＜f(－1) B．f(－6.5)＜f(0)＜f(－1) C．f(－1)＜f(－6.5)＜f(0) D．f(－1)＜f(0)＜f(－6.5) 答案

A 解析

由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2. ∵函数f(x)为偶函数，

∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．

∵f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，

∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－6.5)＜f(－1)．

7．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________. 3答案

－

2解析

函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋1＋e3x1＋e3x＋2axax，化简得ln3x6x＝2ax＝lne，即3x6x＝e2ax，整理得e3x＋1＝e2ax3x(e3x＋1)，所以e＋ee＋e32ax＋3x＝0，解得a＝－. 28．已知函数f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝____________. 答案

－－x－1 解析

∵f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，

∴当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，

即当x<0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1. 9．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当13＋f(2)＋f5＝________. 0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f222答案

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解析

依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，

13＋f(2)＋f5

∴f＋f(1)＋f2221－1＋f(0)＋f1

＝f＋f(1)＋f22211＋f(0)＋f1

＝f＋f(1)－f2221＝f2＋f(1)＋f(0) ＝2－1＋21－1＋20－1＝2. 10．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数．如果实数t1ln ≤2f(1)，那么t的取值范围是________．

满足f(lnt)＋ft1答案

e，e

解析

由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，

1ln，

所以f(lnt)＝ft1ln≤2f(1)，得f(lnt)≤f(1)．

由f(lnt)＋ft又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，

1所以|lnt|≤1，即－1≤lnt≤1，故≤t≤e. e－x＋2x，x>0，11．已知函数f(x)＝0，x＝0，x2＋mx，x<0(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

解

(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．

于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，

所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，

a－2>－1，结合f(x)的图象知

a－2≤1，212

是奇函数．

所以1

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故实数a的取值范围是(1,3]．

12．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x. (1)判断f(x)的奇偶性；

(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．

解

(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．

又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．

又f(x)的定义域为R，∴f(x)是偶函数．

(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，

则f(x)＝f(－x)＝x；

从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，

f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2. －x，x∈[－1，0]，故f(x)＝x，x∈0，1，－x＋2，x∈[1，2].

13．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝等于________．

答案

1 解析

因为f(x)>0，f(x＋2)＝所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]

＝11＝＝f(x)，

fx＋21fx1，

fx1，对任意x∈R恒成立，则f(2019)fx

即函数f(x)的周期是4，

所以f(2019)＝f(505×4－1)＝f(－1)．

因为函数f(x)为偶函数，

所以f(2019)＝f(－1)＝f(1)．

11当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝. f－1f1由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2019)＝f(1)＝1. 14．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有

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①2是函数f(x)的周期；

②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；

③函数f(x)的最大值是1，最小值是0. 其中所有正确命题的序号是________．

答案

①②

解析

在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，

则有f(t＋2)＝f(t)，

因此2是函数f(x)的周期，故①正确；

当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数，

根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；

由②知，f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误．

15．(2017·东北四市联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．

答案

7 解析

因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，

则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0. 又f(1)＝0，

∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，

故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个．

16．已知函数f(x)＝2|x－2|＋ax(x∈R)有最小值．

(1)求实数a的取值范围；

(2)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝f(x)，求g(x)的解析式．

a＋2x－4，x≥2，a＋2≥0，解

(1)f(x)＝要使函数f(x)有最小值，需∴－2≤a≤2，

a－2x＋4，x<2，a－2≤0，

故a的取值范围为[－2,2]．

(2)∵g(x)为定义在R上的奇函数，∴g(0)＝0. 设x>0，则－x<0. ∴g(x)＝－g(－x)＝(a－2)x－4，

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a－2x－4，x>0，∴g(x)＝0，x＝0，a－2x＋4，x<0.

资料摘要

实习作业教学设计与反思