信息技术应用 借助信息技术方程的近似解教学设计及课堂实录

《方程的根与函数零点》教学设计

韶关市浈江区曲仁中学 蔺

勇

一、教学背景

1、授课学生：高一年级

2、学科：高中数学

3、课时：一个课时

4、课前准备：解方程x22x30，并画出相应函数yx22x3的图像。

二、教材作用与地位分析

本节是选自苏教版《高中课程标准实验教科书》（必修1）第三章第一节内容，是在学生系统地学习了函数的概念及性质，并且掌握了几个基本初等函数知识的基础上。在这一节结合函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而理解函数的零点与方程的根之间的关系，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习算法奠定基础。

三、学情分析

（1）学生具备必要的知识与心理基础。

通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，如一次函数和二次函数，并且具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。

同时，方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决

方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础。

（2）学生缺乏函数与方程联系的观点。

高一学生在函数的学习中，常表现出不适，力不从心，主要是数形结合与抽象思维的思想尚不具备。具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位。例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象。函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节课必须承载的任务。

（3）直观体验与准确理解定理的矛盾。

从方程根的角度理解函数零点，学生并不会觉得困难。而用函数来确定方程根的个数和大致范围，则需要适应。换言之，零点存在性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体案例中操作感知，通过更多的举例来验证。

定理只为零点的存在提供充分非必要条件，所以定理的逆命题、否命题都不成立，在函数连续性、简单逻辑用语未学习的情况下，学生对定理的理解常常不够深入。这就要求教师引导学生体验各种成立与不成立的情况，从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适用范围。

四、教学目标设计

1、知识与技能：

（1）结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；

（2）结合零点定义的探究，掌握方程的实根与相应函数零点的等价关系；

（3）结合几类基本初等函数的图像特征，掌握零点存在的判定条件、方法以及所在区间。

2、过程与方法：

（1）通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有的认知结构出发，寻求解决疑难问题的能力；

（2）通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学的能力； （3）探求零点存在性的判定，感知归纳总结与概括的思想；

（4）通过对函数与方程思想的剖析，促进学生对知识灵活运用的能力。

3、情感、态度、价值观：

（1）培养学生的数形结合思想,渗透由抽象到具体思想,使学生理解动与静的辨证关系,在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值；

（2）培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的能力；

（3）使学生感受数学的美感,培养学生学习数学的热情。

五、教学重难点分析

重点：零点的概念及零点与方程的根之间的关系

难点：零点存在的条件以及所在区间的确定

六、教学方法与学法

教学方法：启发式教学、探究式学习 学法：自主、合作，联想学习法。 多媒体设备：计算机

七、教学过程设计

教学

环节

教学程序及设计

1、实例引入 解方程：（1）2x-1=0 设计意图

通过纯粹靠代数运思考：上述方程的根与函数y=2x-1的图象有什么关算，引起学生认知系？（学生讨论快速作答）

冲突，激起探求的2、

一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系。 热情

解方程x2x30x2x10x2x30 通过回顾一次、二222

画出函数yx2x3 yx2x1

次函数图象与x轴2212

yx2x3的图象，并指出图象与x轴的交点。创设

的根的关系，为一

问题1：方程的根与对应函数图像与x轴交点之间什么关系？ 般函数及相应方程情境

学生回忆、讨论，得出结论。

关系作准备

感知

问题2：这个结论对一般的二次函数和方程都成立吗？

概念

学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x23的交点和相应方程轴交点的横坐标。

3、一般函数的图象与方程根的关系。

通过各种函数，将

问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例！

结论推广到一般函

师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，比较函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论：

方程f(x)＝0有几个根，y＝f(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标。 数，为零点概念做好铺垫。

4、函数零点。 概念：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点。

设定即兴练习，判断零点的概念。

问题4：零点是不是点？零点是不是f(0)？

及时矫正“零点是交点”这一误解。 说明：①函数零点不是一个点，而是

函数

零点

概念

的引

入及

深化

具体的自变量的取值。 ②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根。

5、归纳函数的零点与方程的根的关系。

问题5：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？

（1）联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；

②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根；函数y＝f(x)的图象与x轴有交点；函数y＝f(x)有零点。

（2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言。 练习：求函数的零点及零点个数的判断。

通过练习，归纳出求零点的步骤以及零点个数的确定。

使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）。以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础。

6、零点存在性定理的探索。

问题6：（1）观察函数y2x1和二次函数说出图像在零点附yx2x3以及所给函数的图像，23通过二次函数的图象和所给定的函数图象，猜想、归纳得出零点存在性定理。

近的分布情况。 实例

7、零点存在性定理： 通过简单的练习适

探究

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断一应定理的使用。

归纳

条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间

(a，b)内有零点。即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c定理

也就是方程f(x)＝0的根。

即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？

（1）ylogxx∈[0，2]；

2（2）ye14x4，x∈[0，1]。 x

8、定理辨析与灵活运用

通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出，在第一时间加以纠正，从而促进对定理本身的准确理解。

通过例题分析，能根据零点存在性定理，使用多种方法确定零点所在的区间，并且结合函数性质，判断零点个数。 正反

例证

熟悉

定理

例1、判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：

请学生回答问题，其他学生补充评析。

归纳：定理不能确零点的个数；定理中的“连续不断”是必不可少的条件；不满足定理条件时依然可能有零点。

9、例题讲解

例2：求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)。

解法1（借助计算工具）：用计算器或计算机作出x、f(x)的综合

应用

拓展

思维

对应值表和图象。 f (2)<0，f (3)>0, 则f (2) f(3)<0，这说明函数f(x)在区间(2，3)内有零点。

问题7：如何说明零点的唯一性？

又由于函数f(x)在(0，+∞)内单调递增，所以它仅有一个零点。

解法2（估算）：估计f(x)在各整数处的函数值的正负，

结合函数的单调性，f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点。

问题8:变式：求方程lnx+2x－6=0的根的个数

？

解法3（函数交点法）：视学生基础情况而定。 总结整理

提高认识

（1）一个关系：函数零点与方程根的关系：

（2）两种思想：函数方程思想；数形结合思想。

（3）三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间。

1、常规作业3题。

深入认识本节课的主要内容

作业是学生学习信息的反馈，也是师生互动的一种方式，在学用中体现成功的喜悦。

布置

出这个解的近似值？请预习下一节。

作业

2、思考题1题：方程2-x =x在区间______内有解，如何求

八、教学反思（后记）

本节课的设想是用问题串出一条线，通过对问题的探究，利用类比的思想将新问题和已经掌握的内容联系起来，达到掌握新知识的目的。坚持以学生为主体，以自主探究为手段，以能力提高为目的，充分贯彻了素质教育和课程标准的要求，有利于学生对知识的汲取，方法的掌握和能力的形成。

当然，本节课学习活动内容还是较多，且具备一定难度，尤其是零点个数的判断，使得可能出现授课任务无法按时完成，或者为赶任务而使得授课质量不能达到预计目标。另外，知识基础较为薄弱的学生，可能会跟不上节拍，而使知识的掌握滞后。所以，教师应根据课堂学习活动的实际情况，课堂练习、作业进行必要的辅导，甚至个别指导与帮助，从而确保本节课教学任务的顺利完成。