信息技术应用 收集数据并建立函数模型优质课教案

《第五讲

数学建模的一般过程》的教学设计

授课班级

高一3班 授课教师

黄良发 授课时间：20190618

1、教材分析：数学建模是高中数学新课程的新增内容，但《标准》中没有对数学建模的课时和内容作具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。人教版必修1教材中“3.2函数模型及其应用”一节通过六个例子介绍了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解决数学应用题中的作用，为以后的数学建模实践打下了基础，但还未能使学生真正理解数学建模的真实的一般全过程。本节课通过一个更具实际的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。

2、学情分析：高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次函数与三角函数的相关性质。

3、教学目标：

3.1 教学目标

3.1.1 知识与技能

（1）初步理解数学建模的概念；

（2）掌握框图2——数学建模的一般过程。

3.1.2 过程与方法

（1）经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法；

（2）提高学生通过建立函数模型解决实际问题的能力。

3.1.3 情感态度价值观

（1）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程；

（2）感受数学的实用价值，增强应用意识。

3.2、教学重点、难点与关键

重点是框图2——数学建模的一般过程；难点是方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。

3.3、教学方法与手段

运用引导探究、讨论交流等方法；采用计算机、PPT、几何画板等辅助手段。

4、教学过程设计

4.1、教学过程设计

教师

活动

现有宽为a的长方形板材，请将它设计制

成一直的开口的长条形水槽，使水槽能通过

的流水量最大。

教师

引导

（一）

学生

阅读

实际理解

问题

问题

变为

1.

初步理想化

，

理想

在单位时间内，该水槽能通过的流水量并将

化问

取决于水流速度和它的横截面积。将问题理其理

题

想化，假定水流速度是一定的。那么，要在想化

预计 单位时间内获得最大的流水量，就应该将水2 槽设计成横截面积最大。于是，问题化归为：分钟

现有宽为a的长方形板材，将它设计制成一开

口的长条形水槽，使水槽的横截面积最大。”

2.进一步理想化

如果将水槽的横截面设计成矩形，那么

这一实际问题可以转化为理想化问题：

如下图所示，要建造一个横截面为矩形

ABCD 的水槽,并且AB ,BC ,CD 的长度之和等

于a.问应当怎样设计水槽的深度和宽度,使水槽的横截面积最大?

教 学 内 容

ABDC教学

环节

学生

活动

学生

听讲

思考

设 计 意 图

与大学数学建模相比，过去的中学数学建模缺少假设这一重要环节。本环节意在恢复数学建模的真实面目。

（二）

1.寻找变量以及变量之间的关系

将理

水槽的深度是一个变量，宽度是另一个变ABx想化

量，横截面积也是一个变量。设问题

转化

为数

BCy，

教师

引导

讲解

学生

听讲

思考

.矩形ABCD的面积为S.那么，这三xy个变量之间的关系是S. 学问

变量S由两个变量x和y确定.如果能使第

1 页

展示将理想化问题转化为数学问题的数学化过程。

题

面积S表达式只由一个变量确定，那么研究预计

的问题就可以简化，这就需要寻找两个变量x3 分钟. 和y之间的关系。

2.建立数学模型

Sx(a2x)

，将实际问题转化为一个纯x(a2x)数学问题：当x取何值时，函数S（0xa2）有最大值？

a2

（三）

求解

数学

模型

解释数学结果

预计

2 分钟

（四）

数学建模过程

预计

2分钟. 教师

学生

2(x)因为Sx(a2x)，

引导

听讲

848分析

思考

a讲解

求解

所以，当x时，S有最大值0.125a.

模型

4a

此时，ya2x.

2

当水槽的横截面设计成矩形时，只要将

aa深度、宽度分别设计为和时，可得到最

42

大的横截面积，从而可获得最大的流水量。

可将上述数学建模的过程概括为下面的

框图1：

教师

学生

引导

听讲

讲解

思考

a2a22展

示

解

模

过

程

结合这一实际问题的解决过程，概括出数学建模的基本过程，以实现由具体到抽象的升华。

第

2 页

（五）

最优解的探究

预计

7 分钟

前面的设计是将横截面设计成矩形，将

教师

学生

1.让学aa深度、宽度分别设计为和时，可得到最将学动手

生经历42生分探究

数学建大的横截面积，

成五各自

模中的的

优化过如果将水槽的横截面分别按照下图中的个小组，

设计

程；

五种方案进行设计，结果又如何呢？

并巡方案

2.培养视指

学生的 导学

探究意生解

识。

决问

题.

由于

缺少

导数

工具

，

教师

应引

导学

生运

用

观察

、

估算

来探究方案二的答案.

第

3 页

教师总结案的设计。最后派代表报告本探究结果. 点评

1a11最后(xa)

方案一：Sx(ax)2822教师演示a数学0.125a.

8实验1发现0.125a.

当xa时，S答案

212aa, 方案二：S(a2sin)cos

并指2333

出运a用导(1sin)cos

最优9数工解的具可（

演示数学实验）

以证探究0.144a 30时，S明我总结

们的方案三（四个底角为67.5的等腰三角形）：

答案预计

1aa是正S4tan67.50.151a.

7 确的

248. 分钟

方案四（五个底角为72的等腰三角形）：

将全班分成5个小组，分别探究五个方22222max学生

代表

讲解

各自

方案

的答

案

通过观察、试算、估算与数学实验，培养学生的合情推理能力和数学发现能力. 22mas2S512a5a10tan720.154a.2

方案五：

ra,ra.S12r2a220.159a.

2通过比较以上五种方案和横截面设计为矩形时的情况可以得出，方案五是这个实际问题的最优解，即：

将水槽的横截面设计为半径为

（六）

数学建模的一a的半圆

学生

听讲

思考

1.使学生获得科学的数学建模理论：数学建模与数形时，从而可获得最大的流水量。

找到了该问题的最优解。这就表明，数学建教师

模需要对所得到的结果进行检验评价，以确讲解

概括

认结果是否合理，是否是较好的结果。如果

结果不满意，就需要重新回到“理想化问题”

以上进行了六种设计方案的探究后，才第

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般过这一环节。于是，我们就可以概括出一个较程是什么

为完善的数学建模一般过程的框图2：

预计

6 分钟

（七）

牛刀

小试

预计时间

14 分钟

如下图，某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图所示，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积. 北100mEA教师

解释

说明

问题. 最后演示数学实验. 学生

动手

解决

问题

西60mBC东80m70mD

教师

讲解

点化

问题1:让学生探究发现周长一定的凸多边形中

，正多边形的面积最大. 学模型的概念、数学建模的具体过程；

2.体会数学以不变应万变的魅力；

3.弥补

《标准》中数学

的建模

理论的

不足。

1.根据练习律和强化原理，强化刚刚获得的数学建模理论；

2.培养学生的问题解决能力。

1.强化数学建模的一般过程；

2.设计二个课后思考题，培养学生的数学探究能力、动手实践能力和数学创新意识。

（八）

小结与

课后思考

预计时间

2 分钟

1.小结

领略了数学建模的一般过程：

2.课后思考

（1）将各方案中的图形沿虚线向上翻折，并观察思考：得到的周长为2a的凸多边形中，什么时候面积最大？

（2）请你帮助吉东皇后解决问题

吉东是泰雅皇帝的女儿，历经周折，逃到非洲，且成为迦太基的创始人和第一位神奇的皇后。刚到非洲时，吉东要在靠海岸线的地方购买“一张羊皮”的土地：她把羊皮剪成细条，结成长绳，剩下的问题是：怎么围，才会得到最多的土地呢？

学生

内化

数学

建模

理论

问题2：

是等周问题在解决实际问题中的应用.

第

5 页

5、板书设计

第五讲 数学建模的一般过程

一、 四、 六、

二、 七、

三、 五、 八、

附： 创新之处

1.数学建模是高中数学新课程的新增内容，却没有教材，没有具体内容。教师们感到不太好把握，本课题基于《3.2函数模型及其应用(人教版数学必修1)》设计而成，通过一个较为真实的数学建模案例，弥补了教材的这一不足。

2.与大学数学建模相比，过去的中学数学建模缺少理想化（模型假设）这一重

要环节。本设计恰好解决了这一问题，恢复了数学建模的真实面目。

3.本节课将数学探究、数学实验与数学建模较好地结合在一起，并提供了三个

拓展性的课后思考题，激发学生的学习兴趣。

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