信息技术应用 收集数据并建立函数模型课堂实录【3】

收集数据并建立函数模型

吴菁

（杭州第七中学

浙江杭州

310024）

手机：15868471461

邮箱：m15868471461@163.com

教学设计

教学基本信息

课题

学科

教材

教学内容

《收集数据并建立函数模型》

数学

人民教育出版社A版

借助TI-Nspire（以下简称TI）图形计算器收集水温变化数据并探究冷却模型。学习数学建模过程，利用信息技术探索复杂现象的变化规律。

年级

高一

一、设计思想

《普通高中数学课程标准》提出中国学生在数学学习中应培养好数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养，并且明确将数学建模划入必修内容，鼓励学生使用信息技术进行数学建模。数学建模作为数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。在高中数学课堂，培养学生数学建模能力就显得非常重要。

二、学情分析

1.学生已经掌握初等函数的图像与性质，但对初等函数在现实生活中的应用还较为陌生；如何选择函数模型解决现实问题，学生也无从下手。

2.学生已经掌握图形计算器基本操作，熟悉离散点绘制、函数拟合等功能，但对图形计算器外接传感器的操作还非常陌生。

三、教学重点和难点

重点：数学建模过程；

难点：衡量模型优劣的指标。

四、教学目标

学生通过TI图形计算器收集水温冷却变化数据，熟悉数学建模过程，了解模型优劣的选择，解决水温冷却实际问题。

五、课前准备

TI图形计算器，储水杯、温度传感器、TI实验底座、热水壶。

六、

教学过程

（一）

温故知新，课堂引入

师：

同学们，我们先来看上一节课的课后习题（错误率较高，并涉及函数建模基本过程），这道练习题XX同学思路非常清晰，请该同学上台给大家展示解题步骤。

师：

这道练习题告诉我们，模型是有优劣的。那么现实生活中，如何建立较优函数模型？

【课堂导入设计意图】

习题讲解的同时引入新课内容，起到承上启下的作用。通过学生现场操作，复习图形计算器的绘制图像操作。通过练习题的思考，学生可以初步总结数学建模的过程，为新课做铺垫。

（二）实验探究，探索冷却模型

1. 抛出实际问题

问题：小明家里要来客人，准备用茶水招待。已知某种茶叶在80度时冲泡口感最好，请问小明大约要提前多长时间将100度的开水进行冷却，以便客人到家时正好泡茶？

师：大家思考2分钟时间后，分享下解决这个实际问题的思路。

【设计意图】实际问题抛出后，学生会给出不同的思路，可能会有：直接测量或者建立函数模型等方案。不同方案的比较让学生体会数学建模的优势。

2.

收集数据与画散点图

通过图形计算器与温度传感器收集水温变化数据，采集数据实验器材如图1,从左到右分别为储水杯、图形计算器、温度传感器。

图1 数据采集需花费3分钟，采集期间让学生操作图形计算器，按

菜单

5

切换视图，探索图像视图（图2）、表格视图（图3）、仪表视图（图4）功能。

图2

图3

图4 收集数据后将数据传给学生，并选择图像视图、表格视图、仪表视图观看不同视图呈现，其中图像视图即为散点图。

【设计意图】

借助图形计算器采集数据，避免了繁琐的散点图绘制，让学生聚焦于建模的关键步骤。

3.

模型选择

师：散点图绘制完成后，我们接下去用函数模型拟合该函数图像，请列举我们熟悉的数学模型。图形计算器有相应的函数拟合功能吗？借组图形计算器拟合该离散图。

师：借助图形计算器我们完成了一次函数拟合，但图形计算器显示的参数r与r是什么意思？

【设计意图】

借助图形计算器进行函数拟合，避免了对最小二乘法等拟合方法的理解。从函数拟合显示的参数r与r引出函数模型好坏的评价体系，引导学生思考残差和、残差平方和、确定系数。

4.

模型求解

借助图形计算器分别求解一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的确定22

系数。其中对数函数、幂函数数据采集点不在定义域范围内，故不能拟合，经过多次测验，一次函数拟合效果最差，二次函数、指数函数拟合结果会有波动。

【设计意图】

模型求解中由于采集的时间有0s,对数函数、幂函数自变量不能取到0,故不能用对数函数、幂函数进行拟合。借此，学生可对初等函数的性质进行巩固。

5.

模型验证

无论实验结果最优是二次函数还是指数函数，均引导学生进行模型验证，取测试点（例如1800s对应的温度）对拟合结果进行验证，如图5。验证结果将二次函数模型舍弃。

图5 【设计意图】

通过二次函数与指数函数的验证让学生体会到模型验证步骤的重要性。

6.

解决实际问题

经过以上步骤可以选定冷却模型为指数函数，使用该模型解决实际问题，借助图形计算器计算水温从100摄氏度到80摄氏度所需的时间。

7.

总结牛顿冷却模型

t师：思考指数模型f(t)ab,f(0)等于多少？那t0时f(t)的现实意义是什么？那系数a是什么呢？

师：将该模型记为f(t)1b，1为初始温度。该模型中limtf(t)等于多少？那tt趋向于正无穷时f(t)的现实意义是什么？现实意义与模型求解不符合，怎么办呢？

师：通过添加系数可以优化该模型，f(t)0(10)at,其中1为初始温度，。这就是我们非常有名的牛顿冷却模型。

0为环境温度【设计意图】

图形计算器只支持类似f(t)ab的指数模型拟合，但是冷却模型是f(t)abc，故这里通过f(t)ab模型拟合存在误差。通过模型的分析引导学生总结牛顿冷却模型。

（三）课堂总结

师：各位同学，新课内容就此结束，大家一块来回顾一下，我们本堂课所学的知识点。

师：伽利略曾说过：“一切推理都必须从观察和实验得来。”这告诉我们解决实际问题中需要收集数据，一切用数据说话！凯尔文曾说过：“当你能衡量你所谈论的东西并用数学加以表达时，你才真的对它有几分了解。”这告诉我们需要建立函数模型，用数学来衡量实际问题！这就是收集数据并建立函数模型。

ttt

【设计意图】

触发学生进行知识点总结，在回答过程中总结出数学建模的基本流程。并以名人名言结束该课。

七、

教学反思

借助图形计算器，可使学生从繁琐无味的数据收集中抽离出来，聚焦于数学建模的完整流程，特别是模型选择与模型求解的流程。同时，借助图形计算器可以将模型求解的原理隐藏，不对学生暴露难以理解的最小二乘等拟合方法，使得高中生可以操作。故在教学过程中，借助信息技术，可使得课堂的开展更加顺畅与高效。