复习参考题特级教师教学实录

一道习题的处理

学情分析：我所带班级的学生虽然学习的积极性很高，探索欲望也很强，但是他们基础知识并不扎实，许多东西都是一知半解，缺乏自信，做题眼高手低，基本是高开低走，需要教师给他们信心，鼓励他们勇敢前行。

教学目标：通过一道典型习题的处理，让学生学会多角度思考问题，分析问题提高学生运用所学知识解决问题的能力，培养学生的发散思维、大胆创新、勤于思考的良好习惯。

教学重点：解题过程的书写规范。（作为课后作业完成）

教学难点：解题思路的探索，知识交汇的处理。

教学方法：启发式教学，从以“形”思“法”起步

学法指导：鼓励学生把自己的想法表述出来，大家帮助他完成，讨论解决。

教学过程：

原题展示：若yx142x的最大值为M，最小值为m，则M=(

) m试题改编：若关于x的方程ax142x，x1,2总有实数解，求实数a的范围。

试题分析：从函数角度看，求函数的最值问题，也就是求值域的问题。

从方程角度看，方程有解的问题，也可以转化为求值域问题。

进一步来说，两个问题都是一样的。

角度一：从方程角度思考问题，从函数角度用导数解决问题。

分析1、从方程角度看，方程有解的问题，也可以转化为求值域问题，讨论函数的最值问题。

令yf(x)x142x，则y12x12242x42x2x12x142x，

令y0得x444，易知，y在1,上单调递增，在,2上单调递减。

333x4时y取最大值3，又f(1)2，f(2)1

3所以：a的取值范围为1,3。

角度二：从不等式的角度思考，用柯西不等式解决问题。

a2分析2、x112x22x1222x1223

2

“=”当且仅当4x12x即x时成立，又f(1)2，f(2)1，a0

312所以：a的取值范围为1,3。

角度三：从三角函数角度思考，用三角代换解决问题。

分析3、由x的有界性，x1,2，令x1sin2,0,

2则asin2cos3sin，其中cos所以：a的取值范围为1,3。

分析4、由题可得13,sin23

x142x1对照sin2cos21

aa可令x142xsin2,cos2，消去x得

aa2220cos11a3

，又，从而3cos42cos21a2所以：a的取值范围为1,3。

分析3、4都是三角代换，联系不同的理论也就有不同的思路。

角度四：从向量角度思考，用数量积的坐标运算解决问题。

分析5、由题可得：a令p1,2,qx112x2

x1,2x，则q在单位圆位于第一象限的圆弧上

3cos，由图可知：13cos1

从而apqpqcos所以：a的取值范围为1,3。

角度五：从数列的角度思考，联系等差中项解决问题。

分析6、由题可得：x142x1（联系等差中项的表达式）

aa从而x1142x11,,成公差为d,的等差数列。

a2a22

x1142x1d,且d

a2a2消去x可得：a223d2d34，d11,，从而1a23

22所以：a的取值范围为1,3。

角度六：从解析几何角度思考，联系点到直线距离解决问题。

分析7、令ax142xmn，则2mn2@ 构造直线l:2mxny0，点A1,2到直线l的距离d2mn22mna

由于l恒过坐标原点O，数形结合可知，当OA与l垂直时，d最大为3，当l垂直于x轴时，d最小为1. 所以：a的取值范围为1,3。

分析8、ax142xm2n，则mn1@ 以下同分析7，构造直线l:mxny0，取点A1,2，数形结合求出结果。

分析7、8说明，同一个想法也可以出现完全不同的解题过程。关键在于直线方程和A点坐标的选取。直线方程选取是为m、n满足@式，点A坐标的选取是为找到点到直线距离与a的关系式。

板书设计：

若关于x的方程ax142x，x1,2总有实数解，求实数a的范围。

角度一：从方程角度思考问题，从函数角度用导数解决问题。

分析1、从方程角度看，方程有解的问题，转化为求值域问题，函数的最值问题。

角度二：从不等式的角度思考，用柯西不等式解决问题。

分析2 角度三：从三角函数角度思考，用三角代换解决问题。

分析3、

分析4、

角度四：从向量角度思考，用数量积的坐标运算解决问题。

分析5、

角度五：从数列的角度思考，联系等差中项解决问题。

分析6

角度六：从解析几何角度思考，联系点到直线距离解决问题。

分析7、

分析8、

课后作业：将各种解题方法完整地书写出来，作为规范练习，必须完成。

课后反思：高考，考场如战场。他们已经经历了一次失败，作为亲历者体会更深：新的高考要求，试题愈加注意灵活性，难度有所降低，量有所增加，特别是计算量，做题速度也就要求更快，方法更简单、更巧妙。学习数学和研究数学就是为了获取更多的简单统一的方法去处理变化无穷的万事万物，让世界变得容易相处。引导学生探索解题思路，已经迫在眉睫。解题就如打仗，为了获取成功，我们不但要扮演冲锋陷阵的勇猛无比的将军，更要扮演运筹帷幄、智慧超群的军师。如何将二者统一起来是解题的关键，思维训练更重要！要练快，先练巧，以巧求快，以快求胜。