习题3.2主要内容及教案内容

《函数模型的应用实例》教学设计

一、教学内容

普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2 函数模型的应用实例. 二、教学目标

知识与技能目标：

1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，建立函数模型；

2.会利用建立的函数模型解决实际问题；

3.培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换、数学建模等数学能力. 过程与方法目标：

1.通过实例分析，使学生感受函数的广泛应用，体会建立函数模型解决实际问题的思维过程；

2.渗透数形结合、分类讨论、化归转换等数学思想方法. 情感、态度与价值观目标：

1.让学生体验“问题解决”的成功喜悦，激发学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心；

2.培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度；

3.经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟“认识来源于实践又服务于实践”的辩证观点. 三、教材分析

本小节教材共有4个例题，大致分为两类，其中例3和例5是根据图表信息建立确定性函数模型解决实际问题；例4和例6是建立拟合函数模型解决实际问题.本小节分两个教学课时，本节课是第一课时.我以教材例3和例5为基础，分别在图形和数表两种不同应用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决实际问题.因此，本节课的教学重点是：根据图、表信息建立函数模型解决实际问题.

四、学情分析

学生已掌握了一些基本初等函数的相关知识，并在上一节《几类不同增长的函数模型》的学习中，初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程，这为本节课的学习奠定了知识基础.但学生的应用意识、应用能力比较弱，且正确运用数学知识解决实际问题，需要有较高的抽象概括能力、整体驾驭能力和局部处理能力，这些能力要求对学生的学习造成了一定的困难.因此，本节课的教学难点是：将实际问题抽象为数学问题，完成从文字语言、图表语言向符号语言的转化，并建立函数模型. 五、教学过程

（一）交流成果

提出课题

学生交流上节课作业题“请举出生活中函数模型的应用实例”的成果，提出课题.

【设计意图】让学生体会函数与现实生活的密切联系，感受建立函数模型解决实际问题的必要性，从而激发他们的学习内驱力，也很自然地引入课题.

（二）分析探究

解决实例

【例1】一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系，如图1所示.

（1）求出图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义；

（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2010 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(km)与时间t(h)的函数解析式，并作出相应的图象.

【教学活动1】第（1）题：阴影部分面积为五个小矩形的面积之和，那么只要知道求其中一个矩形的面积并知道其实际意义，就能解决整个问题.因此，我借助多媒体设置动画，引导学生对第一个矩形进行分析，让学生说出它的长度、

宽度各是多少？其实际意义分别是什么？根据“矩形面积＝长×宽＝速率×时间＝路程”，学生就能很快说出第一个矩形的面积及其实际意义，整个问题也就迎刃而解了.

【设计意图】利用从“局部到整体”、“特殊到一般”的思想分析问题, 从而化解难点, 教会学生分析问题的方法.

【教学活动2】第（2）题：重点分析如何建立s与t的函数关系式.

由于“汽车里程表读数s＝2010 ＋汽车行驶路程”，而汽车行驶的路程＝速率×时间，分析v与t的图象，得v是t的分段函数，从而s是t的分段函数.

求这个分段函数的解析式，关键是求出前两段的函数解析式.其中求第二段函数解析式是难点.由第一问可知“路程”的几何意义为“图形的面积”，于是可以将求路程转化为求图形的面积.设置多媒体动画重点分析：t在0至2小时内变化时，s与t的函数解析式变化，使得有效突破难点.然后让学生自主完成整个题目的解答，并利用实物投影仪展示学生的解答过程，师生共同点评，得出下列结论：

（1）阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1+65×1＝360.

阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.

(2)据v与t的关系图，有

这个函数的图象如图2所示.

【设计意图】通过本例的教学，让学生体会建立分段函数模型的思维过程，培养学生读图、识图、解图、画图的能力，渗透数形结合、分类整合的数学思想，养成自主探究与合作交流相结合的学习习惯.

【例2】某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：

销售单价/元

6

7

8

9

10

11

12

日均销售量/480

440

400

360

320

280

240

桶

请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？

【教学活动】对本例的教学，重点解决如下三个问题：

（1）指导学生审题后提炼出题目中的已知条件与要解决的任务.

已知：固定成本为200元；每桶水的进价是5元；销售单价与日均销售量之间的数据表格；任务：定价为多少时利润最大？

（2）指导学生分析表格数据，建立日均销售量与销售单价之间的函数模型；从而建立利润与售价之间的函数关系；

（3）实际问题中自变量取值范围的确定.

为此我设计了下列问题，引导学生自主探究、讨论交流：

①利润与哪些量有关？试用等式表示.

利润＝销售的金额－销售成本－固定成本（或利润＝单桶水的销售利润×销售量－固定成本）.

②分析表格数据，日均销售量随销售单价的变化规律是什么？

销售单价在6元基础上每涨价1元销售量就减少40桶.

③当销售单价为x元/桶时，销售量为多少？

销售量＝480－40(x－6)＝720－40x(桶).

④销售单价x

受哪些条件的制约？其取值范围是什么？

x＞5且720－40x＞0，即5＜x＜18.

在解决上述问题后要求学生自主完成本例的解答，再用实物投影仪展示学生的解题作品.考虑到本例的自变量还可以是每桶水在进价基础上的增加量，因而我设置了链接，以达到预设与生成的和谐统一.

【设计意图】让学生体验解决实际问题的过程和方法.培养学生分析归纳、概括能力. 从而初步体验解应用题的规律和方法.

通过上述分析，预设学生得出以下两种解法：

解法一：设每桶水定价为x元时，日均销售利润为y元.

因为销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，则

日均销售量＝480－40(x－6)＝720－40x(桶).

由于x＞5且720－40x＞0，即5＜x＜18，

所以y＝(720－40x)(x－5)－200＝－40x2＋920x－3800，5＜x＜18.

易知，当x＝11.5时，y有最大值. 故将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.

解法二：设每桶水在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y 元.

因为销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，则

日均销售量＝480－40(x－1)＝520－40x(桶).

由于x＞0且520－40x＞0，即0＜x＜13，

所以y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200，0＜x＜13.

易知，当x＝6.5时，y有最大值. 故将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.

【设计意图】通过本例的教学，使学生感知提取数表信息、抽象函数关系的思维过程，领悟建立函数模型解决最值问题的基本方法，渗透化归转换的数学思想.

（三）反思过程

发现规律

【教学活动】通过比较、概括上述两个实例的求解过程，我引导学生总结出建立函数模型解决实际问题的思维流程：

【设计意图】

学会归纳、总结解决数学问题的思维方法，掌握建立函数模型解决实际问题的一般规律，提高理性思维能力.

（四）反馈调控

方法迁移

【练习】某上市公司股票在30天内每股的日交易均价P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，且点(t，P)落在图中的两条线段上.该股票在30天内（含30天）的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：

第t天

4

10

16

22

Q(万股)

36

30

24

18

（1）写出这支股票每股的日交易均价P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；

（2）根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；

（3）求这30天中第几天的日交易额最大，最大值为多少万元？

【教学活动】通过前面的学习与思考，学生对解决这类问题已有一定的方法基础，面对本题表现出一种一展身手的亢奋状态.我要求学生以自主探索与合作交流相结合的方式对本问题求解，老师巡视答疑，再抽取几份不同解答的答卷作实物投影展示，师生一起评价、纠错，形成共同解答.

【解析】

(1) 当时,设,由图象得，解得

，即；

同样的方法可求得当

时，.

综上可得，

(2)设

所以：,由题意知：，即，解得.

（3）设第t天的日交易额为f(t)万元，则

即

当

当时，

时，

所以这30天中第15天的日交易额最大，最大日交易额为125万元.

【设计意图】选择一个既有图形，又有数表的实例，能有效地检测、反馈学生对两类建立函数模型的应用问题的掌握程度，同时培养学生在综合问题情境中对知识和方法的迁移能力.

（五）归纳小结

深化认识

引导学生从总结解题方法，提炼数学思想等方面对本节课所学内容进行归纳小结.

（1）建立函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？

（2）在本节课的学习过程中，运用到了哪些数学思想方法？

【设计意图】启发学生对本节课学习的内容进行总结，提醒学生重视研究问题的方法和过程.

（六）布置作业

巩固提高

课外作业：必做题：教材P106练习第1题，P107习题3.2A组第3，4题. 选做题：P108习题3.2B组第2题. 【设计意图】让学生巩固函数建模的思想方法，并进行自我检测与评价.通过分层作业，体现对不同能力层次的学生有不同学习要求.