复习参考题主要内容及教案内容

文科数学第一轮复习教案（邓超辉）

课题：数系的扩充与复数的引入

教学要求：

1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件. 2.了解复数的代数表示法及其几何意义. 3.能进行复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加、相减的几何意义. 教学重点：理解复数、相等复数、共轭复数及复数的模等概念,掌握复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件,掌握复数的四则运算,理解复数加减法的几何意义。

教学难点：复数的基本运算和应用技巧。

教学过程

一、课前双基巩固

1.复数的有关概念

(1)复数的概念

形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中a,b分别是它的

和

.若

,则a+bi为实数;若

,则a+bi为虚数;若

,则a+bi为纯虚数.

(2)复数相等:a+bi=c+di⇔

(a,b,c,d∈R).

(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔

(a,b,c,d∈R).

=(a,b)的模r叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作

或

,即(4)复数的模:向量 |z|=|a+bi|=

.

2.复数的几何意义

(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).

(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量

.

3.复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则

①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=

; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=

; ③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=

; ④除法:

= = - =

(c+di≠0).

- (2)复数加法的运算律

复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=

,(z1+z2)+z3=

.

常用结论

1.(1±i)2=±2i, =i, =-i.

2.-b+ai=i(a+bi).

3.i4n=1, i4n+1=i, i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*);i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N*).

4.z·

=|z|=|

|2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,

=

,|zn|=|z|n.

-2

-

5.复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量

,

不共线,则复数z1+z2是以

,

为两

所对应的复数.

邻边的平行四边形的对角线

6.复数减法的几何意义:复数z1-z2是

-

=

所对应的复数.

题组一

常识题

1.[教材改编]

若复数z=m+1+(m2+m-2)i为实数,则实数m的值是

.

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2.[教材改编]

在复平面内,O是原点,向量 对应的复数为3+2i,若点B是点A关于实轴的对称点,点C为点B关于虚轴的对称点,则点C对应的复数是

.

3.[教材改编]

复数z满足(1+2i)z+(2-i)=0,则z=

.

4.[教材改编]

z=2-3i,则|z+1|=

.

题组二

常错题

◆索引:复数的分类把握不准导致出错;对复数的几何意义理解有误;复数相等与共轭复数概念把握不牢固致误.

5.若复数(a2+a-2)+(a+2)i是纯虚数,则实数a=

.

6.若复数z满足iz=3-5i,则在复平面内,z对应的点的坐标是

.

7.若复数z满足2z+z·

=(2+i)2(i为虚数单位),则z=

.

二、课题考点探究

探究点一

复数的有关概念

例1 (1)[2018·浙江卷]

复数 (i为虚数单位)的共轭复数是(

) A.1+i

B.1-i

C.-1+i

D.-1-i (2)已知i是虚数单位,复数 的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为

.

[总结反思] 复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即

a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意列方程(组)求解.

变式题

(1)已知

是z的共轭复数,且|z|-

=3+4i,则z的虚部是(

)

A.

B.-

C.4

D.-4

(2)若 =i3(a,b∈R),则a+b=(

) A.1

B.-1

C.2

D.-2 探究点二

复数的几何意义

例2 (1)[2017·全国卷Ⅲ]

复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于(

) A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

图1 (2)复数z在复平面内表示的点Z如图1所示,则

=(

)

A.-

+

i

B.-

+

i

C.-

-

i

D.-1-

i [总结反思] 对复数几何意义的理解及应用,要注意两点: 的相互联系,即z=a+bi(a,b∈R)⇔ =(a,b).

(1)复数z、复平面上的点Z及向量 Z(a,b)⇔ (2)根据复数、点、向量之间的一一对应的关系,可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.

变式题(1)若在复平面内,复数z= (m∈R)所对应的点位于第二象限,则实数m的取值范围为(

)

A.

-

B.

C.

-

D.

-

(2)在复平面内与复数z= 所对应的点关于虚轴对称的点为A,则点A对应的复数为

(

)

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A.1+2i

B.1-2i

C.-2+i

D.2+i 探究点三

复数的代数运算

例3 (1)[2018·全国卷Ⅱ] i(2+3i)=(

) A.3-2i

B.3+2i

C.-3-2i

D.-3+2i (2)已知复数z= -

A.

B.

C.

D.

[总结反思] (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算.

(2)复数除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.

变式题(1)若复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,且z1=1-2i,则

=(

) A.

+

i

B.-

+

i

C.-

-

i

D.

-

i A.

B.

C.

D.三、课时作业

基础热身

,

是z

的共轭复数,则z·

=

(

)

(2)已知i为虚数单位,若(1+i)(z-i)=2+i,则复数|z|=(

) 1.已知复数z的共轭复数为

,若|

|=4,则z·

=(

)

A.16

B.2

C.4

D.±2 2.若a为实数,且(1+ai)(a-i)=2,则a=(

)

A.-1

B.0

C.1

D.2 3.复数 =

(

)

A.1+3i

B.1-3i

C.-1+3i

D.-1-3i 4.已知i为虚数单位,复数z满足z(1-i)=1+i,则z2020=(

)

A.1

B.-1

C.i

D.-i 5.若复数z=cos θ-sin θ·i在复平面内所对应的点在第四象限,则θ为第

象限角.

能力提升

6.若复数z满足(1-i)z=i(i为虚数单位),则z的虚部为(

)

A.-

B.

C.-

i

D.

i 7.已知复数z=2+bi(b∈R,i为虚数单位),且满足z2为纯虚数,则z·

=(

)

A.2

B.2

C.8

D.12 8.若a∈R,则“复数z=

在复平面内对应的点在第三象限”是“a>0”的(

)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

9.设复数z满足z(1-i)=2(其中i为虚数单位),则下列说法正确的是(

)

A.|z|=2

B.复数z的虚部是i

C.

=-1+i

D.复数z在复平面内所对应的点在第一象限

10.若(1-mi)(m+i)<0,其中m为实数,i为虚数单位,则m的值为(

)

A.-1

B.-2

C.-3

D.-4 11.设i是虚数单位,

表示复数z的共轭复数.若

=

,则(3-i)z=(

)

A.11+17i

B.11-17i

C.-11+17i

D.-11-17i 12.已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1

是实数,则实数a=

.

13.已知复数1+i是关于x的方程x2+mx+2=0的一个根,则实数m的值为

.

14.已知复数z满足z2=12+16i,则z的模为

.

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难点突破

15.设复数z=

,若z2+az+b=1+i(a,b∈R),则b-a=

.

16.已知z是复数,z+2i, 均为实数,且(z+ai)2在复平面内所对应的点在第一象限,则实数a的取值范围是

.

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