信息技术应用 收集数据并建立函数模型公开课教学设计模版

生活中的函数模型

【教学时间】:3课时

【学情分析】：学生已学习了一些常见函数以及它们的性质、运用，尤其是在日常生活中的应用，但是怎样从生活中发现函数、怎么建立函数模型呢？本节课将对其初步研究。

【教学目标】：

（1）

知识与技能：培养学生学会观察、记录、运算、以及运用。

（2）

情感态度与价值观：让学生充分体会到生活中处处有数学。

（3）

过程与方法：培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力，进一步培养学生应用数学的意识,体会函数在解决实际问题中的作用. 【教学重点】： 研究函数模型-得出函数解析-式生成结论

【教学难点】：

得出函数解析式、获取数据

【教法和学法设计】：教法：师生互动、实验体验，观察记录，模拟函数、运算数据、生成结论。

学法：走出教室、观察实验、自主探索，合作交流。

【课前准备】：Powerpoint 【教学过程】：一、提出问题探索新知：数学模型的历史可以追溯到人类开始使用数字的时代。随着人类使用数字，就不断地建立各种数学模型，以解决各种各样的实际问题。对于广大的科学技术工作者对大学生的综合素质测评,对教师的工作业绩的评定以及诸如访友，采购等日常活动，都可以建立一个数学模型，确立一个最佳方案。建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁。我们经常在在雨中行走，通过建立函数模型研究研究怎样才能淋雨最少，以便今后在生活中尝试运用。

二、情景问题（冒雨前行）： 一个雨天，你赶时间需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。2

假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。

1 建模准备

建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。

主要因素：淋雨量，

降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度。

2 模型假设及符号说明

1）把人体视为长方体，身高h 米，宽度 w米，厚度 d米。

淋雨总量用 C升来记。

2）降雨大小用降雨强度 I 厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。

3）风速保持不变。4）以定速度 V 米/秒跑完全程 D 米

3 模型建立与计算

1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。

淋雨的面积 S2wh2dhwd (米2)

t雨中行走的时间 D(秒)v

降雨强度

I(厘米/时)0.01I(米/时)(0.01/3600)I(m/s)

C t(I/3600)0.01S(米3)10(D/v)I/3600S（升）

模型中

D,I,S为参数，而v为变量。

结论：淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。

若取参数D1000米,I2厘米/小时, 2h1

.50米,w0.50米,d0.20米,即S2.2米。 你在雨中行走的最大速度v6米/每秒，则计算得

你在雨中行走了167秒，即2分47秒。3

从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。

经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了

2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。

表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际

原因：不考虑降雨的方向的假设，

使问题过于简化. 2）考虑降雨方向。

若记雨滴下落速度为 r （米/秒）雨滴的密度为

p, p1表示在一定的时刻在单位体积的空间内，由雨滴所占的空间的比例数，也称为降雨强度系数

，所以，I rp。因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。

分两部分计算淋雨量：

C1(D/v)wd(prsin)顶部的淋雨量 D

/v表示在雨中行走的时间,wd表示顶部面积，rsin度。

表示雨滴垂直下落的速

前表面淋雨量

C2(D/v)wh[p(rcosv)]pwD(drsinh(rcosv))v

r4m/s,I36002cm/s,p1.39106取参数

C总淋雨量（基本模型）

C1C2

6.9510C(0.8sin6cos1.5v)v

可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。

问题转化为给定 ，如何选择 V使得 C最小。

4情形1 ： 90C6.9510(4

0.81.5)v结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。

C11.3104m31.13升假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得

C6.95104[1.5(0.433)/v] 60情形2 ：4

结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。

43假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得

C14.710m1.47升

情形3 ： , 此时，雨滴将从后面向你身上落下。

90180 C6.95104[(0.8sin6cos)/v1.5]

令  90，则090。 C6.95104[(0.8sin(90)6cos(90))/v1.5] C6.95104[(0.8cos6sin)/v1.5]

当 090时，C可能取负值，这是不可能的。

出现矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从你前面落到身上情形。因此，对于这种

情况要另行讨论：当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即

vrsin这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是

pwDh(rsinv)/v

淋雨总量为

CpwD[drcosh(rsinv)]/vD Cwdprcos当vrsin时，C取到最小值。rsin

4再次代如数据，得

C6.9510(0.8cos)/(4sin)结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。

若雨滴是以 的角从背后落下

30120的角度落下，即雨滴以

v4sin302m/s的速度行走，你应该以 此时，淋雨总量为

C6.95104(0.83/2)/2m30.24升这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。

4 结论

若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑；

若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。

5

5 注意 关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。

冒雨前行问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重要性，模型的阶段适应性。

三、

建立函数模型的步骤大体可以归纳以下几点：

1.对某个实际问题进行分析以及观察（重点是抓住主要方面）；

2.作出合理的假设也就是对实际问题进行抽象、简化（往往是很不容易的）；

3.确定要建立函数模型中的变量以及参数；

4.根据某种定律（通常是已知的各学科中的规律，也可能是经验的规律），建立变量和参数间确定的数学关系（明确的数学问题或在这个层次上的一个数学模型），这是一个非常具有难度和挑战性的数学问题；

5.解析或尽可能近似地求解该数学问题，这往往涉及复杂的数学理论和方法，其中包括近似方法和算法；

6.计算结果能否展示、解释甚至预测实际问题中出现的现象，或用某种方法（例如，历史数据、实验数据或现场测试等）来验证模型是否正确；

7.如果第6步的结果是成立的，那么就可以付之试用；如果是不成立的，那就要回到第1~6步进行仔细分析，重复上述建立的过程。

因此，数学建模用框图表示如下：

抽象、简化，确定变量和参

数

利用某种“定律”建立变量和

参数间的确定的关系（数学问题，

这个层次上的一个数学模型）

解析或“近似”地求解

该数学问题（数学模型）

解释、验证

通不通

四、课后作业：解答下面的问题：

可应用该数学模6 观察、分析实际问题

（1）甲早8:00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5:00到达山顶并留宿。次日早8:00沿同一路径下山，下午5:00回到旅店。乙说，甲必在2天中的同一时刻经过同一地点。为什么？

（4）甲乙两站之间有公交车相通,每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车,但发车时刻不一定相同甲乙之间有一中间站丙,某人每天在随机的时刻到达丙站,并搭乘最先经过丙站的那趟车,结果发现100天中约有90天到达甲站,约有10天到达乙站.问开往甲乙两站的公交车经过丙站的时刻表是如何安排的?

五、教学方法：将班上44名同学分成4个学习小组，分组采集数据，最后合作探究，即既分工又协作，采用分组学习、团结协作、理论与实践相结合的方法。

六、教学反思：本节课的学习打破数学课基本上是纯理论的片面理解，教学方法就是采用理论与实践相结合

，分组学习与合作交流相结合，让学生走出教室去上课，但是数据的采集难度较大且准确度可能不高。但我想通过对本节课的学习研究适时改进！

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