2.2.1 函数的单调性板书设计及意图

§2.2函数的单调性(一) ▲教学目标：

1．理解函数单调性的定义；

2．掌握求简单函数的单调性；

3．掌握单调函数的判断，证明方法。

▲教学重点：单调性的定义。

▲教学难点：单调性的证明。

▲教学模式：问题探究教学模式

▲教学准备:ppt ▲教学过程

一、创设问题情境

数与形,本是相倚依

焉能分作两边飞

数无形时少直觉

形少数时难入微

数形结合百般好

隔离分家万事休

切莫忘,几何代数统一体

永远联系莫分离

——

华罗庚

问题1．运动员在投球时的运动轨迹是什么？投掷时的角度为多大时，才能使它最远？

问题2．画出函数y＝x2的图像，考察y随x的增大的变化情况？

描述：x∈(0,＋∞)时，x增大，y ；

x∈(－∞,0)时，x增大，y 。

精确：当x1，x2∈[0,＋∞ ,

x1＜x2f(x1)

f(x2)；

我们就说函数y=x2在

上是

当x1，x2∈(－∞,0) ,

x1＜x2f(x1)

f(x2)。

我们就说函数y=x2在

上是

二、引导

自学

探究

问题3．增函数，减函数是如何定义的？什么叫函数的单调性和单调区间？

阅读书本P57

～P58 页，并抽象概括出单调性定义？

定义：增函数：对于定义域I内的某个区间D上的任意x1，x2，当x1＜x2，

都有f(x1)

f(x2)，则称f(x)在这个区间上是增函数。

减函数：对于定义域I内的某个区间D上的任意x1，x2，当x1＜x2，

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都有f(x1)

f(x2)，则称f(x)在这个区间上是减函数。

单调性：如果函数f(x)在某个区间上是增函数或减函数，

则称：f(x)在这一区间上具有

。

评析：⒈

函数的单调性反映在图像上有何特性？

⒉

函数的单调区间D与函数f(x)的定义域I有何关系？

⒊

能否说：f(x)＝x2在定义域上是增函数？

⒋

在函数单调性定义中，x1，x2的取值有何要求？

⒌

单调区间中的两个端点值如何处理？

⒍

如何记忆：

x1＜x2f(x1)＜f(x2)

x1＜x2f(x1)＞f(x2)

归纳出：不等号一致为

不等号不一致为

三、应用

激活

巩固

问题4．如何根据图像判断或求函数的单调性呢？

例1：（课本P58例1）

评注：⒈

写单调区间，能闭则闭，各区间中不用并集

⒉

如果求单调区间，如何回答？

问题5．如何证明函数的单调性呢？

例2：证明函数f(x)＝3x－2在R上是增函数。

评注：⒈

函数单调性的证明，必须用单调性定义，这是一种严格的代数论证方法。

证明步骤：①

设点；

②

作差及变形；

③

判断并下结论。

⒉

思考：函数f(x)＝－3x＋2在R上是增函数还是减函数？

一般地，一次函数f(x)＝kx＋b的单调性取决于什么？如何判断？

⒊

若函数f(x)＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是

。

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2例3：证明：f(x)＝

在(0,＋∞)上是减函数。

x四、反馈

矫正

确认

2

问题6．⒈

函数f(x)＝

在(－∞,0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论。

x

⒉能不能说f(x)在定义域上是减函数呢？能不能说f(x)的单调递减区间

是(－∞,0)∪(0,＋∞)？

五、联想

拓展

延伸

2

问题7．函数f(x)＝－

在(－∞,0)（或(0,＋∞)）上是增函数还是减函数？并证明x你的结论。

k问题8．一般地，函数f(x)＝

在(－∞,0)（或(0,＋∞)）上的单调性如何？

x

你能根据图像快速判断吗？你能给出严格的证明吗？

1问题9．证明：函数f(x)＝x＋

在(0,1]上为减函数，在(1,＋∞)上是减函数，

x并画出简图。

1变题训练：1、讨论函数f(x)＝x＋

的单调性，并证明你的结论。

xa

2、若函数f(x)＝x＋

在[1,＋∞]上单调递增，求a的取值范围。

x六、

归纳

总结

提高

1、关于函数增(减)性的定义。

①记忆：x1＜x2f(x1)＜f(x2)

不等号方向

为增；

x1＜x2f(x1)＞f(x2)

不等号方向

为减。

②单调性离不开区间，单调区间离不开定义域，单调区间D是定义域的子集。

③单调函数的图像特征：增函数的图像 ；

减函数的图像 。

④弄清几种说法：求单调区间→是求区间，能闭则闭。

判断单调性→指明区间上的增减性。

证明单调性→必须用定义。

2、单调性证明的步骤是：① ；② ；③ 。

3、一次函数f(x)＝kx＋b的单调性如何？

k

4、反比例函数f(x)＝

的单调性如何？

x七、作业

强化

升华

课本

P40

练习

1~8

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