1.1 集合的含义及其表示优质课一等奖

§1.1

集合

1.1.1

集合的含义与表示

第1课时

集合的含义

江苏省黄桥中学

叶小娟

学习目标

1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性(重点、难点) 2.了解元素与集合间的“从属关系”(重点).3.记住常用数集的表示符号并会应用．

预习教材P2，完成下面问题：

知识点1

元素与集合的概念

(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．

(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．

(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．

(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．

【预习评价】

(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)漂亮的花可以组成集合．(

) (2)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素．(

) (3)元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是不相等的．(

) 提示

(1)×

“漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合．

(2)×

由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中有2个元素．

(3)×

集合中的元素具有无序性，所以元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是同一集合．

知识点2

元素与集合的关系

关系

属于

不属于

概念

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A 记法

a∈A a∉A 读法

a属于集合A

a不属于集合A

【预习评价】

- 1 -

思考

设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3,4这两个元素与集合A有什么关系？如何用数学语言表示？

提示

3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4∉A. 知识点3

常用数集及表示符号

数集

符号

【预习评价】

(1)若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(

) A．3.14

7C．

8B．－2 D．7 非负整数集

(自然数集)

N

正整数集

N*或N＋

整数集

Z

有理数集

Q

实数集

R

(2)若2

(1)由选项知7是实数，但不是有理数，故选D．

(2)大于2且小于10的整数为2和3，故x＝2或3. 答案

(1)D

(2)2或3

题型一

集合的判定问题

【例1】

下列每组对象能否构成一个集合：

(1)我们班的所有高个子同学；

(2)不超过20的非负数；

(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；

(4)3的近似值的全体．

解

(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“3的近似值”不能构成集合．

规律方法

判断一组对象能否构成集合的依据

- 2 -

【训练1】

给出下列说法：

①中国所有的直辖市可以构成一个集合；

②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；

③正偶数的全体可以构成一个集合；

④大于2 011且小于2 017的所有整数不能构成集合．

其中正确的有________(填序号)．

解析

②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，故④错误．

答案

①③

题型二

元素与集合的关系

1【例2】

(1)给出下列关系：①∈R；②2∉Q；③|－3|∉N；④|－3|∈Q；⑤0∉N.其中2正确的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 6(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．

3－x解析

(1)①②正确；③④⑤不正确．

(2)∵666∈N，x∈N，∴当x＝0时，＝2∈N，∴x＝0满足题意；当x＝1时，＝3－x3－x3－x663∈N，∴x＝1满足题意；当x＝2时，＝6∈N，∴x＝2满足题意，当x>3时，<0不3－x3－x满足题意，所以集合A中的元素为0,1,2. 答案

(1)B

(2)0,1,2 规律方法

判断元素与集合关系的两个关键点

判断一个元素是否属于一个集合，一要明确集合中所含元素的共同特征，二要看该元素是否满足该集合中元素的共同特征．

【训练2】

设集合M是由不小于23的数组成的集合，a＝11，则下列关系中正确的是(

) A．a∈M

B．a∉M C．a＝M

D．a≠M

解析

判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵11<23，∴a∉M. 答案

B - 3 -

典例迁移

题型三

集合中元素的特性

【例3】

已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3是集合A中的元素，试求实数a的值．

解

因为－3是集合A中的元素，

所以－3＝a－3或－3＝2a－1. 若－3＝a－3，则a＝0，

此时集合A含有两个元素－3，－1，符合要求；

若－3＝2a－1，则a＝－1，

此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合要求．

综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1. 【迁移1】

(变换条件)若把本例中的条件“－3是集合A中的元素”去掉，求a的取值范围．

解

由集合元素的互异性知a－3≠2a－1，解得a≠－2，故实数a的取值范围是a≠－2. 【迁移2】

(变换条件)若本例中的集合A含有两个元素1和a2，且a∈A，则实数a的值是什么？

解

由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1；当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．综上可知a＝0. 规律方法

利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点

(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对集合中的元素进行检验．

(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．

课堂达标

1．下列能构成集合的是(

) A．中央电视台著名节目主持人

B．我市跑得快的汽车

C．上海市所有的中学生

D．香港的高楼

解析

A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．

答案

C 2．由形如x＝3k＋1，k∈Z的数组成集合A，则下列表示正确的是(

) A．－1∈A

B．－11∈A 解析

－11＝3×(－4)＋1，故选B．

答案

B - 4 -

C．15

D．32

3．下列三个命题：

①集合N中最小的数是1；

②－a∉N，则a∈N；

③a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2. 其中正确命题的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 3解析

根据自然数的特点，显然①③不正确．②中若a＝，则－a∉N且a∉N，显然②不2正确．

答案

A 4．已知集合A中的元素x满足x≥2，若a∉A，则实数a的取值范围是________．

解析

由题意a不满足不等式x≥2，即a<2. 答案

a<2 5．若集合A是由所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成，判断－6＋22是不是集合A中的元素？

解

因为－2∈Z且2∈Z，所以－6＋22是形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数，即－6＋22是集合A中的元素．

课堂小结

1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．

2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A. 3．集合中元素的三个特性

(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．

(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．

(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个特性通常用来判断两个集合的关系．

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