1.3 交集、并集ppt配套的教案及板书设计

集合间的关系及运算

教学目标：理解掌握集合的表示方法，能判断元素与集合、集合与集合之间的关系，掌握集合的交、并、补的运算和性质．

学习重点：集合间的关系及运算．

学习难点：用分类讨论、等价转化及数形结合的数学思想研究集合问题．

教学流程：

一、我们首先回顾一下集合的概念、关系及运算性质．）

1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。

（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作aA；若b不是集合A的元素，记作bA；

（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；

（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R。

2．集合的包含关系：

（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或AB）；

集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作A

B；

（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；

【说明】①AA；②A；③如果AB，同时BA，那么A = B；

④若AB，且AB，则称A是B的真子集，记为AB．

3．全集与补集：

1

（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；

（2）若S是一个集合，AS，则，CS={x|xS且xA}称S中子集A的补集；

（3）简单性质：1）CS(CS)=A；2）CSS=，CS=S。

4．交集与并集：

（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集AB{x|xA且xB}。

（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。并集AB{x|xA或xB}。

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

交集

AB{x|xA且xB}．

【性质】A∩B=B∩A，A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=，AB  A∩B=A．

并集

AB{x|xA或xB}．

【性质】A∪B=B∪A，A∪BA，A∪BB，A∪A=A，A∪=A，AB  A∪B=B．

二、问题演释

题型1：集合的概念

例1．设集合A{x|x119k,kZ}，若x，则下列关系正确的是（

）

242A．xA

B．xA

C．{x}A

D．{x}A

解：由于112k1918k中2k1只能取到所有的奇数，而中18为偶数。则2442499A,{}A。选项为D；

22点评：该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。首先应该分清楚元素与集合之间是属于与不属于的关系，而集合之间是包含与不包含的关系。

例2（2009江苏高考）已知集合Ax|log2x2，B(,a)，若AB则实数a的取值范围是(c,)，其中c

。

【答案】4 【解析】由log2x2得0x4，A(0,4]；由AB知a4，所以c4。

题型2：集合的性质

例3．已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是

。

解：根据子集的计算应有24－1=15（个）。选项为A；

点评：该题考察集合子集个数公式。注意求真子集时千万不要忘记空集是任何非空

2

集合的真子集。同时，A不是A的真子集。

变式题：同时满足条件：①M{1,2,3,4,5};②若aM,则6－aM，这样的集合M有多少个，举出这些集合来。

答案：这样的集合M有8个。

例4．已知全集S{1,3,x3x22x}，A={1,2x1}如果CSA{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x，若不存在，说明理由。

解：∵CSA{0}；

∴0S且0A，即xx2x＝0，解得x10,x21,x32

当x0时，2x11，为A中元素；当x1时，2x13S

当x2时，2x13S ∴这样的实数x存在，是x1或x2。

另法：∵CSA{0}，∴0S且0A，3A

∴xx2x＝0且2x13，∴x1或x2。

点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当x0时，不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号CSA{0}是两层含义：2x11”32320S且0A。

题型3：集合的运算

2例4.集合Axx22,xR，By|yx,1x2，则CRAB等于 。

解：A[0,2]，B[4,0]，所以CRA点评：该题考察了集合的交、补运算。

2例4.设M{y|yx2}，N{y|yx}，则MN

．

BCR{0}=xxR,x0。

分析：M、N两个集合都是用描述法表示的，要弄清集合中的元素．

解：M=R，N[0,)，故MN[0,)．

【感悟】本题易犯的错误是：解方程组yx2yx2，得x1x2或．从而填{1,4}，y1y4或填{(1,1),(2,4)}．产生错误的原因是对集合的元素把握不到位．注意区别以下三个集合：A{x|yx2}、B{y|yx2}、C{(x,y)|yx2}．

3

例5.已知集合A{x|x23x100}，B{x|m1x2m1}，若ABB，求实数m的取值范围．

分析：不等式表示的数集可借助于数轴表示，要注意空集的情况．

解：集合A{x|2x5}，由ABB，知BA．

①若2m-1

②若2m-1 m+1，即m 2时，欲使BA，则需综上所述，实数m的取值范围是m3．

变式一：若将题中“BA”改为“BA”，解题过程有何不同？

m12，解得3m3， 2m3．

2m15变式二：已知集合A{x|x23x100}，B{x|x23mx2m2m10}，若ABB，求实数m的取值范围．

解：B={x|[x-(m+1)][x-(2m-1)] 0}，

若m 2，则m+1 2m-1，B={x|m+1x  2m-1}，同上方法解得2m 3}；

若m<2，则m+1> 2m-1，B={x| 2m-1  x  m+1}，同上解法解得综上，m的取值范围是1m2．

y 21m3．

22变式三：已知集合A{x|x3x100}，

x1

-2 O ．

．

5 x

2x B{x|x2mx3m10}，若ABA，求实数m的取值范围．

解：由ABA知AB，故B．则B{x|x1xx2}

（其中x1,x2为方程xmx3m10的两根，设x1x2），

2x12由AB，知．构造函数f(x)x2mx3m1，

x25由图像知f(2)0，解得m3．

f(5)0【感悟】①不等式的解集与对应方程的根有着密切的关系；

②本题易忽视B=的情况；

③体现了分类讨论的思想方法．

例6.已知集合M{(x,y)|y16x2}，N{(x,y)|yxa}，若MN只有一个元素，求实数a的取值范围．

分析：集合M、N为点集，可结合图形求解．

解：将y16x2平方，得xy16(y0)，故集合

4 22y -4 O 4 x

M表示原点为圆心，4为半径的x轴上方的半个圆(含与x轴

的两个交点)；集合N表示斜率为1的直线．MN只有一

个元素，则直线与半圆只有一个公共点．当直线与上半圆相

切时，a42．结合图像可知，a的取值范围是4a4或a42．

【感悟】(1)本题将两集合之间的关系转化为两曲线之间的关系，然后用数形结合的思想求出a的范围，既快又准确．准确作出集合对应的图形是解答本题的关键．

(2)讨论两曲线的位置关系，最常见的解法还有讨论其所对应的方程组的解的情况．该题若用此法，涉及解无理方程与无理不等式，解起来较繁．

题型4：集合综合题

例7.已知函数f(x)ax21,aR,xR，设集合A={x|f(x)=x}，集合

B={x|f[f(x)]=x}，

且AB，求实数a的取值范围．

分析：本题中集合的元素为方程的根，集合AB说明两方程有相同的实根．

解：若a0，则AB{1}。

2若a0，由A{x|axx10}，得a42a(ax21)21x，即a3x1且a0．B中元素为方程4a2x2x1a0实根，由AB知的a3x42a2x2xa1含有因子ax2x1，a3x42a2x2xa10可表示为22(ax2x1)(axaxa1)．0AB，a2x2axa10无实根或其根为ax2x10的根．由a2x2axa10无实根得a313，故a[,0)(0,)；当444a2x2axa10有实根且为ax2x10的根时，ax2x10，ax2x1，a2x2axa10可化为a(x1)axa10，解得xax2x10得a3．

413,]．

441，代入2a综上所述，实数a的取值范围是[【感悟】本题解答过程中, 不断实施各种数学语言间的等价转换脱去集合符号和抽象函数的“外衣”, 找出本质的数量关系. 这是解答本题的关键．

三、小结、练习

本节课主要复习了“集合间的关系及运算”，通过对几道例题的解析，了解了集合的含义，理解了集合之间的关系，掌握了集合的运算，并加深了对分类讨论、数形结合等数学思想方法的认识．

集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学

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问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。

1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、、、=、CSA、∪，∩等等；符号“,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系

；符号“Ø,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。

2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；

3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。

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