2.2.2 函数的奇偶性教案3

函数的奇偶性

一．教学目标

1．知识与技能：

理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；

2．过程与方法：

通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．

3．情态与价值：

通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力． 二．教学重点和难点：

教学重点：函数的奇偶性及其几何意义

教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式

三．学法与教学用具

学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念．

教学用具：三角板 投影仪

四．教学思路

（一）创设情景，揭示课题

“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？

观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．

f(x)x2 f(x)|x|1 x(x) y y y

1

2x

0 0 x －1 x 0 x

1

通过讨论归纳：函数f(x)x2是定义域为全体实数的抛物线；函数f(x)|x|1是－1 1是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之2x间的共性为图象关于y轴对称．观察一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系？

定义域为全体实数的折线；函数f(x)归纳：若点(x,f(x))在函数图象上，则相应的点(x,f(x))也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．

（二）研探新知

函数的奇偶性定义：

1．偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．

2．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(x)f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．

3．具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．

例1．判断下列函数是否是偶函数．

（1）f(x)x2x[1,2]

x3x2（2）f(x)

x1解：函数f(x)x2,x[1,2]不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称．

x3x2函数f(x)也不是偶函数，因为它的定义域为x|xR且x1，并不关x1于原点对称．

例2．判断下列函数的奇偶性

（1）f(x)x4 （2）f(x)x5 （3）f(x)x解：（略）

小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f(x)与f(x)的关系；

③作出相应结论：

若f(x)f(x)或f(x)f(x)0,则f(x)是偶函数；

若f(x)f(x)或f(x)f(x)0,则f(x)是奇函数．

例3．判断下列函数的奇偶性：

①f(x)lg(4x)g(4x)

11 （4）f(x)2

xx12x1(x0)2②g(x)

1x21(x0)2分析：先验证函数定义域的对称性，再考察f(x)是否等于f(x)或f(x)．

解：（1）f(x)的定义域是x|4+x＞0且4x＞0=x|4＜x＜4，它具有对称性．因为f(x)lg(4x)lg(4x)f(x)，所以f(x)是偶函数，不是奇函数．

（2）当x＞0时，－x＜0，于是

11g(x)(x)21(x21)g(x)

22当x＜0时，－x＞0，于是

g(x)111(x)21x21(x21)g(x)

222综上可知，在R－∪R+上，g(x)是奇函数．

例4．利用函数的奇偶性补全函数的图象．

教材P41思考题：

规律：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．

例5．已知f(x)是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．

证明：f(x)在（－∞，0）上也是增函数．

证明：（略）

小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．

（四）巩固深化，反馈矫正．

（1）课本P42

练习1．2 P46 B组题的1．2．3 （2）判断下列函数的奇偶性，并说明理由．

①f(x)0,x[6,2][2,6];

②f(x)|x2||x2|

③f(x)|x2||x2|

④f(x)lg(x21x)

（五）归纳小结，整体认识．

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．

（六）设置问题，留下悬念．

1．书面作业：课本P46习题A组1．3．9．10题

2．设f(x)在R上是奇函数,当x＞0时，f(x)x(1x)

试问：当x＜0时，f(x)的表达式是什么？

解：当x＜0时，－x＞0，所以f(x)x(1x)，又因为f(x)是奇函数，所以

f(x)f(x)[x(1x)]x(1x)．