3.4.1 函数与方程评课稿

函数的零点教学设计（第一课时）

一、教材依据：

苏教版必修一《函数的零点》第一课时

二、设计思想：

本节课先利用一个学生用已学方法不能求解的方程来创设问题情境，激发学生的求知欲，引导学生将复杂的问题简单化，从已有的认知结构出发来思考问题，再通过建立一元二次方程的根与相应二次函数图像的关系，突出数形结合的思想方法，引导学生从特殊到一般，得到方程的根与函数零点的关系，然后通过合作探究得到连续函数在区间上零点的判断方法，并通过练习巩固所学。

三、教学目标

1、知识目标

理解函数零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系，掌握零点存在的判定条件．

2、能力目标

培养学生的观察能力和抽象概括能力

3、情感目标

在函数与方程的联系中体验数学中的数形结合思想，转化思想和近似思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用。

四、教学重点与难点

重点

：零点的概念及存在性的判定。

难点

：零点个数的确定。

五、教学准备 多媒体课件（PPT和几何画板）和计算器

六、教学过程

1、创设问题情景，引入课题

1()xlog1x22你会解下面的方程吗？

2、学生活动与意义建构

例1.

求证：二次函数y=x2-2x-1有两个与X轴有两个交点。

当遇到一个复杂的问题，我们应该将复杂的问题简单化，寻找类似的简单问题的解决方法，二次方程除了用判别式，还有其他方法吗？（可以利用函数的图像）。

让我们从最熟悉的一元二次方程ax2bxc0(a0)入手，来完成下面的表格：

判别式

b4ac

ax2bxc0(a0)根的情况

20

有两个不等的

实数根

x1x2

0

有两个相等实数

根x1x2

0

没有实数根

1

y yax2bxc(a0)的图象

y y x1

x2

x

x x1=x2

x

交点坐标

思考

(x1,0),(x2,0)

(x1,0)

无交点

当a0时，是否也有同样的结论？

yax2bxc(a0)

的零点

x1,x2

x1

没有零点

（教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，引出零点概念，学生经过独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并交流）

上述结论推广到一般的方程和函数又怎样？函数零点的概念：对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点。

函数零点的意义：函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0实数根，亦即函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标。

提问：零点是点吗？是f(0)吗？

方程f（x）＝0有实数根函数

y＝f（x）的图象与x轴有交点函数y＝f（x）有零点。

（教师引导学生仔细体会上述文字，感悟其中的思想方法，由“全方位指导”转为“适时指导”，学生认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索求函数零点的方法）

3、例题讲解，定理探究：

3例2求下列函数的零点：①yx24x5

；②y3x6x

（分析）求函数y＝f（x）零点的方法：代数法和几何法。

练一练：①若函数f(x)axb(a0)有一个零点是2，求函数g(x)bx2ax的零点。（答案：0和1）

2②若函数yax2x1只有一个零点，求实数a的值。

例3判断函数f(x)x2x1①是否存在零点；②在区间（2，3）上是否存在零点。

（分析）可通过求根公式得方程x2x10的两个根分别为x112，x212。因为12222，所以2123，所以函数f(x)x22x1在区间（2，3）上存在零点。

师：可不可以不通过求根公式来判定区间上零点的个数？

2

探究活动：

探究活动一

你能用一段函数图象连接下图中的A,B两点吗?

y

.A a .B .A

b

x

画出连接A、B两点的几条曲线后发现这些曲线必与直线l相交，观察相交情况，连接A、B两点的函数曲线交点必在区间

(a，b) 内。

探究活动二

再观察下面函数f（x）＝0的图象（如下图）。

①区间[a，b]上_ _____(有/无)零点；f（a）·f（b）_____0（＜或＞）。

②区间[b，c]上______(有/无)零点；f（b）·f（c）_____0（＜或＞）。

③区间[c，d]上______(有/无)零点；f（c）·f（d）_____0（＜或＞）。

（教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系。学生根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析总结概括形成结论）

由以上两步，可以得出什么样的结论？一般地，我们有：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根。

利用零点存在定理完成例2：因为f(2)10,f(3)20，而二次函数f(x)x22x1在区间2,3上的图像是不间断的，这表明此函数图像在区间（2，3）上一定穿过x轴，即函数在区间（2，3）上存在零点。

练一练：求证：函数f(x)=x3+x2+1在区间（-2，-1）上存在零点. 师：完成练习，让我们回过来想一想，函数零点存在的判定条件，提问：

（教师引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用）

探究1为什么必须是连续不断的一条曲线？间断可不可以？（反例：y1，有xf(1)0,f(1)0可是在1,1上却没有零点）

探究2如果函数y＝

（fx）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有（fa）·f（b）>0时，函数在区间（a，b）内有没有零点?（反例：yx1在区间(2,2)上存在2

3

零点，满足上述问题）

探究3如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f（a）·f（b）<0时，函数在区间（a，b）内有零点，但是否只一个零点？那么应该添加什么样的限制条件才能使得函数在区间内只有一个零点？（单调性）

例4

（1）函数f(x)=lgx+x－3存在零点吗？

（2）方程lgx+x－3=0有解吗？

（3）方程lgx= 3－x有解吗？

（4）函数y=lgx与函数y=3－x 有交点吗？

4、回顾反思

（1）

函数的零点概念和意义。

（2）

函数零点存在性的判定以及个数的确定

5、布置作业

4