2.1.1 函数的概念和图象全国优秀课堂实录

高三数学（理科）一轮复习教学案

第二章

函数的概念与基本初等函数(Ⅰ) 第二章 函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)

考试内容

函数的概念

函数的基本性质

指数与对数

指数函数的图象与性质

对数函数的图象与性质

幂函数

函数与方程

函数模型及其应用

等级要求

B B B B B A B B §2.1

函数及其表示

【考情考向分析】以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有填空题，又有解答题，中档偏上难度．

【知识梳理】

1．函数与映射

两个集合A，B 对应法则f：A→B 名称

记法

2．函数的有关概念

（1）函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的________；对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．

（2）函数的三要素：________、________和________. （3）函数的表示法

表示函数的常用方法有________、________和________. 3．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的________，其值域等于各段函数的值域的________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

第1页

函数

设A，B是两个________

如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有________的元素y和它对应

称y＝f(x)，x∈A为从集合A到集合B的一个函数

函数y＝f(x)，x∈A 映射

设A，B是两个非空________ 如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有________的元素y与之对应

称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

映射：f：A→B

§2.1

函数及其表示

4．常见结论：

简单函数定义域的类型

（1）当f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合；

（2）当f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；

（3）当f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合；

（4）若f(x)＝x0，则定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；

（5）指数函数的底数大于0且不等于1；

πx≠kπ＋，k∈Z. （6）正切函数y＝tan x的定义域为x2

【典例共析】

题型一

函数的概念：

例题1．（1）如图：

以x为自变量的函数的图象的序号是________．

（2）有以下判断：

1，x≥0，|x|①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；

x－1，x<0②f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1表示同一函数；

1＝0. ③若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff2其中正确判断的序号是________．

题型二

函数的定义域问题

1例题2．（1）函数f(x)＝lnx2－3x＋2＋－x2－3x＋4的定义域为________．

xfx＋1（2）若函数y＝f(x)的定义域为[0,2 018]，则函数g(x)＝的定义域为________．

x－1mx－1（3）若函数y＝2的定义域为R，则实数m的取值范围是________．

mx＋4mx＋3（4）若函数f(x)＝ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．

第2页

高三数学（理科）一轮复习教学案

第二章

函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)

题型三

求函数解析式

1x＋＝x2＋x－2，则f(x)＝________. 例题3．（1）已知fx（2）已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________. 1（3）已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2fx·x－1，则f(x)＝________.

题型四

分段函数

cos πx，x≤1，44例题4．（1）已知f(x)＝则f＋f－3的值为________．

3fx－1＋1，x>1，

2x1－2，x≤1，（2）已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________. －logx＋1，x>1，2－

2x＋x，x<0，（3）设函数f(x)＝2g(x)为定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝x2－2x－5，若－x，x≥0，

f(g(a))≤2，则实数a的取值范围是________．

3x－1，x＜1，例题5．（1）设函数f(x)＝x则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是________．

2，x≥1，x＋1，x≤0，1x－＞1的x的取值范围是（2）(2017·全国Ⅲ)设函数f(x)＝x则满足f(x)＋f22，x＞0，

________．

第3页

§2.1

函数及其表示

【当堂巩固】

1．[P83例1]函数f(x)＝x＋3＋log2(6－x)的定义域是________．

2．[P30练习T2]函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．

3．已知函数f(x)＝x|x|，若f(x0)＝4，则x0的值为______．

2x－2，x≥0，4．已知f(x)＝2若f(a)＝2，则a的值为________．

－x＋3，x<0，5．已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________. fx＋16．函数f(x－1)的定义域为[0,2 018]，则函数g(x)＝的定义域为________．

x－1

9－x27．函数y＝的定义域是________．

log2x＋18．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．

ax＋19．若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．

ax2－4ax＋2x2，x≤0，110．设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的取值集合为__________．

2|log2x|，x>0，

【当堂小结】

1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．

2．函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有凑配法、换元法、待定系数法和方程法等，特别要注意将实际问题转化为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域．

3．函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定；当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)．

4．函数解析式的求法

(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．

(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．

(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．

1(4)消去法：已知f(x)与fx或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

5．分段函数的求值问题以及分段函数与方程、不等式问题的求解思路

①求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值；

②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．

③依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．

第4页

自我体会与感悟

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第二章

函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)

第二章 函数的概念与基本初等函数

考试内容

函数的概念

函数的基本性质

指数与对数

指数函数的图象与性质

对数函数的图象与性质

幂函数

函数与方程

函数模型及其应用

等级要求

B B B B B A B B §2.1

函数及其表示

【考情考向分析】以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有填空题，又有解答题，中档偏上难度．

【知识梳理】

1．函数与映射

两个集合A，B 对应法则f：A→B 名称

记法

2．函数的有关概念

（1）函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域；对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．

（2）函数的三要素：定义域、对应法则和值域．

（3）函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由第5页

函数

设A，B是两个非空数集

如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应

称y＝f(x)，x∈A为从集合A到集合B的一个函数

函数y＝f(x)，x∈A 映射

设A，B是两个非空集合

如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应

称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

映射：f：A→B

§2.1

函数及其表示

几个部分组成，但它表示的是一个函数．

4．常见结论：

简单函数定义域的类型

（1）当f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合；

（2）当f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；

（3）当f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合；

（4）若f(x)＝x0，则定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；

（5）指数函数的底数大于0且不等于1；

πx≠kπ＋，k∈Z. （6）正切函数y＝tan x的定义域为x2

【典例共析】

题型一

函数的概念：

例题1．（1）如图：

以x为自变量的函数的图象的序号是________．

（2）有以下判断：

1，x≥0，|x|①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；

x－1，x<0②f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1表示同一函数；

1＝0. ③若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff2其中正确判断的序号是________．

解析：（1）答案

②④

（2）答案

②

1，x≥0，|x|解析

对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定x－1，x<0

义域是R，所以二者不是同一函数，故①不正确；

对于②，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应法则均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数，故②正确；

111f1＝f(0)＝1，故③不正确．

－1－对于③，由于f＝＝0，所以f2222综上可知，正确的判断是②.

题型二

函数的定义域问题

1例题2．（1）函数f(x)＝lnx2－3x＋2＋－x2－3x＋4的定义域为________．

xfx＋1（2）若函数y＝f(x)的定义域为[0,2 018]，则函数g(x)＝的定义域为________．

x－1mx－1（3）若函数y＝2的定义域为R，则实数m的取值范围是________．

mx＋4mx＋3（4）若函数f(x)＝ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．

第6页

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第二章

函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)

解析：（1）答案

[－4,0)∪(0,1) x≠0，2解析

由x－3x＋2＞0，－x2－3x＋4≥0，

解得－4≤x＜0或0＜x＜1，

故函数f(x)的定义域为[－4,0)∪(0,1)．

（2）答案

[－1,1)∪(1,2 017]

解析

使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2 018，解得－1≤x≤2 017，

故函数f(x＋1)的定义域为[－1，2 017]．

－1≤x≤2 017，所以使函数g(x)有意义的条件是

解得－1≤x＜1或1＜x≤2 017. x－1≠0，故函数g(x)的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]．

30，

（3）答案

4解析

要使函数的定义域为R，则mx2＋4mx＋3≠0恒成立，

①当m＝0时，显然满足条件；

②当m≠0时，由Δ＝(4m)2－4m×3＜0，

3得0＜m＜. 49（4）答案

－

2解析

函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．

不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}，

a＜0，1＋2＝－b，所以b1×2＝，a

3a＝－2，解得

b＝－3，

39所以a＋b＝－－3＝－. 22

题型三

求函数解析式

1x＋＝x2＋x－2，则f(x)＝________. 例题3．（1）已知fx（2）已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________. 1（3）已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2fx·x－1，则f(x)＝________. 解析：（1）答案

x2－2(x≥2或x≤－2) 11x＋＝x＋2－2，

解析

∵fxx1又| x＋| ≥2，

x∴f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．

13（2）答案

x2－x＋2 22解析

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

由f(0)＝2，得c＝2，

f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，

即2ax＋a＋b＝x－1，

第7页

§2.1

函数及其表示

2a＝1，∴即a＋b＝－1，

3b＝－2.1a＝，2

13∴f(x)＝x2－x＋2. 22

21（3）答案

x＋(x＞0) 331解析

在f(x)＝2fx·x－1中，

1111将x换成，则换成x，得f＝2f(x)·－1.

xxxx1fx＝2fx·x－1，21由解得f(x)＝x＋.

3311fx＝2fx·－1，x

题型四

分段函数

cos πx，x≤1，44例题4．（1）已知f(x)＝则f3＋f－3的值为________．

fx－1＋1，x>1，x12－2，x≤1，（2）已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝________. －log2x＋1，x>1，－

2x＋x，x<0，（3）设函数f(x)＝2g(x)为定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝x2－2x－5，若－x，x≥0，

f(g(a))≤2，则实数a的取值范围是________．

（1）答案

1 4414解析

f3＋f－3＝f3＋f－3＋1 4ππ－＋1＝1.

＝cos ＋cos337（2）答案

－

4x－12－2，x≤1，解析

函数f(x)＝且f(a)＝－3，

－log2x＋1，x>1，－－若a≤1，则2a1－2＝－3，即有2a1＝－1<0，方程无解；

若a>1，则－log2(a＋1)＝－3，解得a＝7，

7－－则f(6－a)＝f(－1)＝211－2＝－. 4（3）答案

(－∞，－1]∪[0,22－1] 解析

∵g(x)为定义在R上的奇函数，

∴g(0)＝0，若x>0，则－x<0，g(－x)＝x2＋2x－5，

∵g(－x)＝－g(x)，∴g(x)＝－x2－2x＋5，x>0，

由题意，知f(－2)＝2，

∴f(g(a))≤2即为f(g(a))≤f(－2)．

x2＋x，x<0，又f(x)＝2∴g(a)≥－2，

－x，x≥0，

a<0，a>0，∴2或2或a＝0，

a－2a－5≥－2－a－2a＋5≥－2

∴a≤－1或0≤a≤22－1.

第8页

高三数学（理科）一轮复习教学案

第二章

函数的概念与基本初等函数(Ⅰ) 3x－1，x＜1，例题5．（1）设函数f(x)＝x则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是________．

2，x≥1，x＋1，x≤0，1x－＞1的x的取值范围是（2）(2017·全国Ⅲ)设函数f(x)＝x则满足f(x)＋f22，x＞0，

________．

2，＋∞

（1）答案

3解析

令f(a)＝t，则f(t)＝2t，

当t<1时，3t－1＝2t，

令g(t)＝3t－1－2t，得g′(t)>0，

∴g(t)在(－∞，1)上为增函数，

∴g(t)

当t≥1时，2t＝2t成立，由f(a)≥1，得

22当a＜1时，有3a－1≥1，解得a≥，∴≤a＜1；

33a当a≥1时，有2≥1，解得a≥0，∴a≥1. 2综上，a≥. 31－，＋∞

（2）答案

41解析

当x＞时，

2x1x－＝2x＋22＞2x＞2＞1；

f(x)＋f21111x－＝2x＋x－＋1＝2x＋x＋＞2x＞1；

当0＜x≤时，f(x)＋f2222113x－＝x＋1＋x－＋1＝2x＋，

当x≤0时，f(x)＋f2221311x－＞1，得2x＋＞1，即x＞－，即－＜x≤0. ∴由f(x)＋f22441－，＋∞. 综上，x∈41

【当堂巩固】

1．[P83例1]函数f(x)＝x＋3＋log2(6－x)的定义域是________．

答案

[－3,6) 2．[P30练习T2]函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．

答案

[－3,0]∪[2,3]

[1,5]

[1,2)∪(4,5]

3．已知函数f(x)＝x|x|，若f(x0)＝4，则x0的值为______．

答案

2 解析

当x≥0时，f(x)＝x2，f(x0)＝4，即x20＝4，解得x0＝2；

当x<0时，f(x)＝－x2，f(x0)＝4，即－x20＝4，无解．

所以x0＝2. x2－2，x≥0，4．已知f(x)＝2若f(a)＝2，则a的值为________．

－x＋3，x<0，答案

－1或2 解析

当a≥0时，2a－2＝2，解得a＝2；

当a<0时，－a2＋3＝2，解得a＝－1. 5．已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________. 答案

－2 解析

由题意知点(－1,4)在函数f(x)＝ax3－2x的图象上，

第9页

§2.1

函数及其表示

所以4＝－a＋2，则a＝－2. fx＋16．函数f(x－1)的定义域为[0,2 018]，则函数g(x)＝的定义域为________．

x－1答案

[－2,1)∪(1,2 016]

解析

由函数f(x－1)的定义域为[0,2 018]．

得函数y＝f(x)的定义域为[－1,2 017]，

－1≤x＋1≤2 017，令

x≠1，则－2≤x≤2 016且x≠1. 所以函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2 016]．

9－x27．函数y＝的定义域是________．

log2x＋1答案

(－1,0)∪(0,3]

9－x≥0，解析

由题意得x＋1＞0，x＋1≠1，2

解得－1＜x≤3且x≠0，

∴函数的定义域是(－1,0)∪(0,3]．

8．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．

答案

[－1,2]

解析

∵y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，

∴x∈[－3，3]，x2－1∈[－1,2]，

∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．

ax＋19．若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．

ax2－4ax＋210，

答案

2解析

由ax2－4ax＋2>0恒成立，

a>0，得a＝0或

2Δ＝－4a－4×a×2<0，1解得0≤a<. 2x2，x≤0，110．设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的取值集合为__________．

2|log2x|，x>0，

答案

－1，2，2

21解析

由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；

212若x>0，则|log2x|＝，解得x＝2或x＝22. 22故x的取值集合为－1，2，. 211

第10页

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第二章

函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)

【当堂小结】

1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．

2．函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有凑配法、换元法、待定系数法和方程法等，特别要注意将实际问题转化为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域．

3．函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定；当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)．

4．函数解析式的求法

(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．

(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．

(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．

1(4)消去法：已知f(x)与fx或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

5．分段函数的求值问题以及分段函数与方程、不等式问题的求解思路

①求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值；

②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．

③依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．

自我体会与感悟

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