习题2.1板书设计及意图

2.1.2指数函数及其性质

一. 教学目标：

1．知识与技能

①通过实际问题了解指数函数的实际背景；

②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.

③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；

2．情感、态度、价值观

①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.

②培养学生观察问题，分析问题的能力.

3．过程与方法

展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.

二．重、难点

重点：指数函数的概念和性质及其应用.

难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.

三、学法与教具：

①学法：观察法、讲授法及讨论法.

②教具：多媒体.

第一课时

一．教学设想：

1.

情境设置

①在本章的开头，问题（1）中时间x与GDP值中的y1.073(xx20)与问题(2)

x15中时间t和C-14含量P的对应关系P=[()30]t，请问这两个函数有什么共同特征.

2

②这两个函数有什么共同特征

1t1573015730把P=[()]变成P[()]t，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量221为指数，即都可以用ya（a＞0且a≠1来表示）.

二．讲授新课

指数函数的定义

一般地，函数ya（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.

提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？

xx

（1）y2x2

（2）y(2)x

（3）y2x

（4）yx

（5）yx2

（6）y4x2

（7）yxx

（8）y(a1)x

（a＞1，且a2）

小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a＞0，x是任意一个实数时，a是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.

x当x0时,ax等于0若a0,

x当x0时,a无意义若a＜0，如y(2),先时,对于x=,xx161等等,在实数范围内的函数值不存在.

8若a=1, y1x1,

是一个常量，没有研究的意义，只有满足yax(a0,且a1)的形式才能称为指数函数，a为常数,象y=2-3,y=2,yx,y3合yax(a0且a1)的形式,所以不是指数函数.

我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究.

下面我们通过

先来研究a＞1的情况

用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数y2的图象

xx1xxx5,y3x1等等,不符x

y2

x3.00

2.50

2.00

1.50

1.00

0.001

80.50

1.00

2 1.50

2.00

4

1

4

y 1

2

1 y=2x

- - - - - - - - - - - - - - 0 x

再研究，0＜a＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数y()的图象.

12xx

1y()x

22.502.001.501.000.001.001.502.002.50

1

4

1

2

1

2

4

x1

y y

2

-

-

0

-

-

- - - - x从图中我们看出y2与y()的图象有什么关系?

x通过图象看出y2与y()的图象关于y轴对称,实质是y2上的点(-x,y)

x1与y=()x上点(-x,y)关于y轴对称.

21xx讨论：y2与y()的图象关于y轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？

21x1xxx②利用电脑软件画出y5,y3,y(),y()的函数图象.

x351xy5

y

5y3x

x1y

38642-5- - - - - - x 12xx120 -2-4510-6

问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.

-8从图上看ya（a＞1）与ya（0＜a＜1）两函数图象的特征.

xx

8yax(0a1)

6yax(a1)

42-10-50 -2-4510-6

问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.

-8问题3：指数函数yax（a＞0且a≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.

图象特征

0＜a＜1 a＞1 向x轴正负方向无限延伸

图象关于原点和y轴不对称

函数图象都在x轴上方

函数图象都过定点（0，1）

自左向右，

图象逐渐上升

在第一象限内的图

象纵坐标都大于1 在第二象限内的图

象纵坐标都小于1 自左向右，

图象逐渐下降

在第一象限内的图

象纵坐标都小于1 在第二象限内的图

象纵坐标都大于1 增函数

函数性质

a＞1 0＜a＜1 非奇非偶函数

函数的定义域为R 函数的值域为R+ a0=1 减函数

x＞0，ax＞1 x＜0，ax＜1 x＞0，ax＜1 x＜0，ax＞1 5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a,b]上,f(x)=ax（a＞0且a≠1）值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)];

（2）若x0,则f(x)1;f(x)取遍所有正数当且仅当xR;

x（3）对于指数函数f(x)a（a＞0且a≠1），总有f(1)a;

（4）当a＞1时，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)；

例题：

例1：（P66

例6）已知指数函数f(x)a（a＞0且a≠1）的图象过点（3，π），求

xf(0),f(1),f(3)的值.

分析：要求f(0),f(1),f(3)的值,只需求出a,得出f(x)=(),再把0，1，3分别代入x，即可求得f(0),f(1),f(3).

提问：要求出指数函数，需要几个条件？

课堂练习：P68

练习：第1，2，3题

补充练习：1、函数f(x)()的定义域和值域分别是多少?

2、当x[1,1]时,函数f(x)3x2的值域是多少?

解（1）xR,y0

（2）（－13x12x5，１）

3

例2：求下列函数的定义域：

（1）y24x4

（2）y()

23|x|分析：类为yax(a1,a0)的定义域是R，所以，要使（1），（2）题的定义域，保要使其指数部分有意义就得

.

3．归纳小结

作业：P69

习题2.1

A组第5、6题

1、理解指数函数ya(a0),注意a1与0a1两种情况。

2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想

.

x