习题1.2教学内容概述

1.2函数及其表示

云南省楚雄第一中学 钟萍

一、考纲要求：

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域；了解映射的概念。

2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数。

3.了解简单的分段函数，并能简单应用。

4.题型以选择、填空题为主。

二、知识梳理

1．函数与映射的概念

函数

映射

两集合

设A，B是两个________

设A，B是两个________ A，B 如果按照某个对应关系f，对如果按某一个确定的对应关系f，使对应

于集合A中的________一个对于集合A中的________一个元素关系

数x，在集合B中都存在x，在集合B中都有________的元素f：A→B ________的数f(x)与之对应

y与之对应

称________为从集合A到集称对应________为从集合A到集合名称

合B的一个函数

B的一个映射

记法

y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射

2．函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的________；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的________．显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：________、________和________．

(3)函数的表示法

表示函数的常用方法：________、________、________．

3．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的________，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

4．常见函数定义域的求法

(1)分式函数中分母________．

(2)偶次根式函数的被开方式________．

(3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R. (5)y＝tan x的定义域为________．

5．基本初等函数的值域

(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是________．

(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为________；当a<0时，值域为________．

k(3)y＝(k≠0)的值域是________．

x(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是________．

(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是________．

特别关注：

1、函数概念的理解

（1）函数关系表示两个变量之间的确定性关系；

（2）初中函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值和他对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。

（3）高中函数概念：设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任

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意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和他对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数。记作：yf(x),xA。

考点一：函数与映射概念

例1、判断题：

（1）学生的学号与学生的期末考数学成绩之间的关系为函数关系；

（

）

（2）学生的学号与学生的名字之间的关系为函数关系；

（

）

（3）f(x)x111x是一个函数；

（

）

（4）函数yf(x)的图像与直线x2012的交点个数至少有1个。

（

）

例2、设f,g都是从A到A的映射（其中A，其对应关系如下表：

1,2,3）x

f

g

1 3 3 2 1 2 3 2 1 则f(g(3)) 。

例3、已知集合M1,1,2,4,N0,1,2，给出下列四个对应法则，其中能构成从M到N的函数的是（ ）

A.yx2 B.yx1 C.y2x D.ylog2x

例4、下列各组中的两函数相等的是

x21；

(2)f(x)x2,g(x)(x)4

（1）f(x)x1,g(x)x(3)

f(x)x2,g(x)3x6

;

(4)f(x)1,g(x)x

（5）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h130t5t和二次函数y130x5x2。

2例5、已知函数f(x)x2x2.求f(2),f(a1),f(x1)。

20

补充了解复合函数：

2

考点二：函数的定义域

(x1)0例1、

求函数yx1定义域；

lg(2x)

例2、已知yf(2x1)的定义域为(0,1)，求f(x)定义域；

例3、已知yf(x)的定义域为(0,1)，求yf(2x1)定义域；

例4.已知f(x)定义域为[0,2]，求函数g(x)f(2x)的定义域。

x1

[总结反思] 函数的定义域就是使得函数解析式有意义的自变量的全体所组成的集合，据此列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般为：

（1）

分式中，分母不为0；

（2）

偶次方根中，被开方数非负；

（3）

对于yx,要求x0；

3 0

（4）

对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1；

（5）

由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束；

（6）

复合函数的定义域要找准自变量，分清内外层函数的关系。

考点三：分段函数

ex,x01例1、设g(x)，则gg()=

. 2lnx,x0

例2、已知fn

例3、设函数

例4、做出函数f(x)x

例5、求函数f(x)x2x1的值域。

[总结反思] (1)应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论．

(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段的解析式分别

4 2n3,n10

则f5

. ffn5,n10f(x)2x3,x1x22x2,x1，若f(x0)1,则x0=

. xx的图像并写出其定义域与值域。

求解，但要注意检验所求自变量的值是否符合分段区间的自变量的取值范围．

考点四：函数解析式

例1、已知f(2x1)4x22x1,求f(x)；

f(x)的解析式。

例2、已知f(x)是二次函数，且满足条件：f (x1)f(x)x1，f(0)0，

试求

例3、设3f(x)2f()lgx，求f(x).

函数解析式的求法：

(1)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．

(3)配凑法：已知f[g(x)]＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，得f(x)的解析式．

(4)消去法：已知f(x)与f()或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

5 1x1x

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