信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆教学目标设计

用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆

天津开发区第一中学 迟峰

【教学目标】

1、学生在折纸游戏中抽象出椭圆的第一定义，再结合几何画板的演示理解折纸过程中所蕴含的数学原理，

再用数学语言加以解释，提高数学表达能力；加深理解椭圆的第一定义；

2、了解椭圆的第二定义，并在标准方程的推导过程了解第一定义与第二定义的关系；

3、学生通过观察几何画板演示动态几何的变化过程中寻求不变的数学规律。提高直观想象和数学抽象的素养。

【学情分析】

授课班级为高二理科班的学生，在此前，学生已经完整的学习了圆锥曲线一章，知道三种圆锥曲线的定义及其标准方程，特别是也初步了解的椭圆的第二定义，已经有了足够的知识储备。但在前面的学习过程中没有着重研究两个定义间的关系，所以本节课是在学生先前学习的基础上，重新梳理、加深理解椭圆定义，体会知识之间的内在联系。

【教学重难点】

本节课的重点是椭圆的椭圆的第一定义和第二定义及两个定义间的内在关系。难点有两个方面，一方面是在折纸游戏的过程中抽象出椭圆定义；另一方面是在椭圆标准方程的推导过程中寻求椭圆的第一定义与第二定义间的内在关系。

【教学过程】

一、

在直观观察中回顾椭圆定义

教师活动：我们已经学习过了椭圆及其标准方程，大家一起回忆一下椭圆的定义是什么？（同时演示几何画板）

学生活动：共同回答。

二、在动手实验中体会椭圆定义

教师活动：今天我们继续探究椭圆的定义，在开始学习前，我们先做一个折纸游戏（用一张圆形纸片演示），在圆形纸片上画一个点（非圆心），然后将纸片折起使得纸片的边缘恰好压在圆内的点上，这样在纸上就折出一条折痕，然后换个位置再折，这样往复下去，大家观察会折出一个什么图形呢？

学生活动：学生折纸，然后小组内交流。

教师活动：我们看到这些折痕包络出一个椭圆，下面我们需要思考思考这一现象所蕴含的数学原理是什么？然后再在小组内交流自己的想法。（如果学生思考受阻，那么教师就利用几何画板展示折纸的几何图形，添加相应的辅助线，启发学生思考。）

教师活动：问题串

问题1：折痕可以包络出一个椭圆的形状，那说明折痕上有椭圆上的点，你能找到折痕上哪个点是椭圆上的点吗？

问题2：折纸过程等同于哪种几何变换？

问题3：如果折痕等同于轴对称，那么对称的两个对应点是谁？

最后教师用《几何画板》演示折纸的过程

在运动变化过程中，图中的点有着不变的性质，我们需要在观察中善于挖掘不变的规律。

三、在例题练习中理解椭圆定义

下面大家看看后面两个图形中点的轨迹是什么？

【例1】如图，圆O的半径为定长R，A是圆O内一定点，动圆P满足与圆O内切且过A点，圆心P的轨迹是什么？为什么？学生活动：小组讨论，然后学生交流自己的想法。

【例2】如图，圆O的半径为定长R，圆A的半径为定长r且与圆A与圆O内含，动圆P满足与圆O、圆A都内切，圆心P的轨迹是什么？为什么？

学生活动：学生自己演算，然后互相交流自己的想法。

四、在数学计算中寻求知识关系

教师活动：我们知道椭圆上的点到两个焦点的距离和为常数这一规律以外，椭圆上的点还具有其他规律吗？

学生活动：学生回答椭圆的第二定义。

教师活动：我们前面了解过椭圆的第二定义（演示几何画板），那么你是否想过为什么满足到定点的距离与它到定直线距离的比是常数的点的轨迹是椭圆？这与椭圆第一定义有什么关系呢？这个关系就隐藏在椭圆标准方程的推导

过程中。我们不妨先回到椭圆的第一定义及标准方程的推导。

平面直角坐标系中动点M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，M与F1，F2的距离和等于2a。

学生活动：学生重温椭圆标准方程的推导过程，在这其中寻找椭圆第一定义与第二定义的关系。

由椭圆的定义，椭圆就是集合P{M||MF1||MF2|2a}

∵|MF1|(xc)2y2,|MF2|(xc)2y2

∴(xc)2y2(xc)2y22a

移项得 (xc)2y22a(xc)2y2

平方得 (xc)2y24a24a(xc)2y2(xc)2y2

整理得 a2cxa(xc)2y2

(xc)2y2cca222再整理得

(x)a(xc)y，即

aca2axc这个表达式的几何意义即是动点(x,y)到定点(c,0)的距离与它到定直线ca2x的距离之比为常数。

ac

教师活动：除了椭圆的第一定义和第二定义之外，你还知道哪些生成椭圆的方式？圆上一点到直径的两个端点连线是互相垂直的，那圆被压缩（或拉伸）或，椭圆上的点与长轴两个端点连线有什么规律吗？

学生活动：学生根据圆上的点与直径两个端点连线互相垂直这一性质，推导圆被压缩后点的坐标关系推导椭圆上的点与长轴两个端点连线的斜率乘积有何规律。

【课后作业】

请同学结合前面折纸游戏的经验，在根据圆锥曲线的定义，自己思考一个用折纸的方式折出双曲线和抛物线的方法，并用一张纸来验证自己的方法是否正确可行。

【课堂小结】

1、常用的生成椭圆的方式有四种：第一定义、第二定义、压缩（拉伸）圆、到两个定点的连线的斜率之积为负常数（非-1）。

2、我们需要关注知识和知识之间的内在关系。

3、在观察动态几何的过程中，要在运动中寻找不变的规律。