习题1.2主要内容及教案内容

第3讲

函数概念及其表示

一、考点、热点回顾

知识点一、函数的概念

1．函数与映射的定义

两集合

A、B 对应关系f：A→B 名称

记法

函数

设A，B是两个非空的数集

如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应

称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

y＝f(x)(x∈A)

映射

设A，B是两个非空的集合

如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

对应f：A→B是一个映射

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；

②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

设a,b是两个实数，且ab

定义

名称

闭区间

半开半闭区间

半开半闭区间

开区间

开区间

符号

数轴表示

定义

名称

半开半闭区间

开区间

半开半闭区间

开区间

符号

数轴表示

(2)无穷区间；

(3)区间的数轴表示．

xaxb

xaxb

xaxb

a,b

a,b

a,b

a,b

,

xxa

xxa

xxa

a,

a,

,a

,a

xaxb

R

xxa

知识点二、函数的表示法

1．函数的三种表示方法：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．

优点：简明，给自变量求函数值.

图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．

优点：直观形象，反应变化趋势.

列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．

优点：不需计算就可看出函数值. 分段函数：

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

二、典型例题

类型一

函数概念

1.下列各组函数是否表示同一个函数？

(1)fx2x1与gx

4x24x1

x2x(2)fx与gxx1

xx1x1(3)fxx1与gx

1xx1(4)fxx22x与gtt22t

2.求下列函数的定义域(用区间表示).

(1)fx

(4)fx

x3；

2x2(2)fx2x9；

(3)fx1x1. x45；

x23(5)fx1x3；

(6)fxx2x24. x13.已知函数fx3x5x2，求f3，f2，fa，fa1.

2

4.已知函数fxx31. x2

(1)求函数的定义域；(2)求f3，f的值；(3)当a0时，求fafa1的值. 23

5.已知fx2x23x25，gx2x5，求：(1)fg2，gf2；

6. 求值域(用区间表示)：

(1)yx22x4

(2)y5x3

(3)fxx23x4

(4)fxx2x3

(2)fgx，gfx

类型二

映射与函数

7. 判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？

(1)A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则f:x2x1

(2)A=N*，B={0，1}，对应法则f:x→x除以2得的余数；

(3)A=N，B={0，1，2}，对应法则f：x→x被3除所得的余数；

(4)设X={0，1，2，3，4}，Y1,

8. 已知AR，Bx,yx,yR，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求111,,，对应法则f:xx取倒数

234

A中的元素2的象，B中元素

类型三

函数的表示方法

9. 求函数的解析式

35,的原象.

24

(1)若f2x1x2，求fx；

(2)若fx12x21f(x+1)=2x2+1，求fx. (3) 已知fx1x4x2，求fx；

2

x2x0(4)已知：fx，求ff1. 2x6x0

10.作出下列函数的图象.

(1)y1xx2,1,0,1,2

(2)yx2；

x2(3)y；

x

(4)y2x24x30x3.

类型四

分段函数

11. 已知fx2x3,x,02x1,x0,2，求f0，ff1的值.

1x012. 已知fxx0，作出fx的图象，求f1，f1，fff11的值. x1x0

三、课堂练习

1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为(

) (1)y1(x3)(x5)，y2x5；

(2)y1x1x1，y2(x1)(x1)；

x3(3)f(x)x，g(x)x2；

(4)f(x)3x4x3，F(x)x3x1；

(5)f1(x)(2x5)2，f2(x)2x5。

A．(1)、(2)

B．(2)、(3)

C．(4)

D．(3)、(5) 2．函数yf(x)的图象与直线x1的公共点数目是(

)

A．1

B．0

C．0或1

D．1或2

42*3．已知集合A1,2,3,k,B4,7,a,a3a，且aN,xA,yB使B中元素y3x1和A中的元素x对应，则a,k的值分别为(

)

A．2,3

B．3,4

C．3,5

D．2,5

x2(x1)24．已知f(x)x(1x2)，若f(x)3，则x的值是(

) 2x(x2)

A．1

B．1或3

2C．1，3或3

2D．3

5．为了得到函数yf(2x)的图象，可以把函数yf(12x)的图象适当平移，这个平移是(

)

A．沿x轴向右平移1个单位

C．沿x轴向左平移1个单位

1个单位

21D．沿x轴向左平移个单位

2B．沿x轴向右平移6．设f(x)A．10

x2,(x10)则f(5)的值为(

) f[f(x6)],(x10)

B．11

C．12

D．13

1x1(x0),2若f(a)a.则实数a的取值范围是

。

7．设函数f(x)1(x0).x8．函数y(x1)0xx的定义域是_____________________。

9．求函数y

x2x1的值域。

10．x1,x2是关于x的一元二次方程x22(m1)xm10的两个实根，又yx12x22，求yf(m)的解析式及此函数的定义域。

11．已知函数f(x)ax22ax3b(a0)在[1,3]有最大值5和最小值2，求a、b的值。

四、课后练习

1．设函数f(x)2x3,g(x2)f(x)，则g(x)的表达式是(

) A．2x1

2．函数f(x)

B．2x1

C．2x3

D．2x7

cx3,(x)满足f[f(x)]x,则常数c等于(

) 2x32

A．3

B．3

C．3或3

D．5或3

11x2f()等于(

) (x0)3．已知g(x)12x,f[g(x)]，那么2x2A．15

B．1

C．3

D．30

4．已知函数y的定义域是(

) 3]，则yf(x1)定义域是[2，f(2x1)

A．[0，5]

B. [1，4]

C. [5，5]

D. [3，7]

221x1x5．已知f(，则f(x)的解析式为(

) )1x1x2

A．x

1x2

B．2x2xx

C．

D．

1x21x21x26．若函数f(2x1)x22x，则f(3)=

. 7．已知f(x)1,x0，则不等式x(x2)f(x2)5的解集是

。

1,x08．设函数yax2a1，当1x1时，y的值有正有负，则实数a的范围

。

9．求下列函数的定义域

(1)yx83x

(2)yx211x2

x1

(3)y11111xx

10．求下列函数的值域

(1)y

11．作出函数yx6x7,x3,6的图象。

23x

4x

(2)y5

2x24x3

(3)y12xx