小结与思考第二课时教案

中考专题复习（轴对称—最短路径问题）

【问题概述】初中数学最值问题是每年中考必出题，更是图论研究中的一个经典算法问题，

旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。

【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．

【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．

【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．

【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．

一．【十二个基本问题】

【问题

1】

在直线

l

上求一点

P，使PA+PB 值最小。

【问题

2】

在直线

l

上求一点

P，使PA+PB 值最小．

在直线

l1 、

l2 上分别求点M、N，使△PMN 的周长最小．

【问题 4】

在直线

l1

、

l2

上分别求点M 、N ，使四边形

PQMN的周长最小。

作法

连

AB，与

l

交点即为

P．

作图

原理

两点之间线段最短．

PA+PB 最小值为

AB．

作法

作

B

关于

l

的对称点

B＇连

A B＇，与

l

交点即为

P．

作图

原理

两点之间线段最短．

PA+PB 最小值为A B＇．

【问题

3】“将军饮马”

作法

作图

原理

两点之间线段最短．

PM+MN+PN 的最小值为线段

P＇P＇＇的长。

分别作点

P

关于两直线的对称点

P＇和

P＇，连

P＇P＇，与两直线交点即为

M，N．

作法

作图

分别作点

Q

、P 关于直线l1

、

l2 的对称点

Q＇和

P＇连

Q＇P＇，与两直线交点即为

M，N．

原理

两点之间线段最短

四边形

PQMN

周长的最小值为线段

Q＇P＇的长。

【问题 5】“造桥选址”

作法

直线

m

∥ n

，在

m

、

n，

上分别求点

M、N，使

MN⊥m

，且

AM+MN+BN的值最小。

【问题 6】

在直线

l

上求两点

M、N（M在左），使

MN



a

，并使AM+MN+NB 的值最小 .

【问题 7】

作图

原理

两点之间线段最短．

AM+MN+BN 的最小值为A＇B+MN．

将点

A

向下平移

MN

的长度单位得

A＇，连

A＇B，交

n于点

N，过

N

作

NM⊥ m

于M .

作法

作图

原理

两点之间线段最短．

AM+MN+BN 的最小值为A＇＇B+MN．

将点

A

向右平移

a

个长度单位得

A＇，作

A＇关于

l的对称点

A＇＇，连

A＇＇B，交直线

l

于点

N，将

N

点向左平移

a

个单位得

M．

作法

作图

原理

点到直线，垂线段最短

PA+AB

的值最小为P＇B

作点

P 关于

l1

的对称点P＇，作

P＇B⊥ l2于B，交在

l1

上求点

A，在

l2

上求

l1

于

A．

点

B，使

PA+AB

值最小．

【问题 8】

A 为

l1

上一定点，B 为

l2

上；A 为

l1

上一定点，B 为

l2上一定点，在

l2

上求点M在l1上求点N ，

使AM+MN+NB 的值最小．

【问题 9】

在直线

l

上求一点

P，使

作法

作图

作点

A 关于

l2

的对称点A＇，作点

B 关于

l1

的对称点

B＇，连

A＇B＇交l2 于M，交

l1

于

N .

原理

两点之间线段最短AM+MN+NB 的最小值为线段

A＇B＇的长．

作法

作图

原理

垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．PA－PB＝0 .

连

AB，作

AB

的中垂线与直线

l

的交点即为

P．

PA－PB的值最小 .

【问题 10】

在直线

l

上求一点

P，使

作法

作图

原理

三角形任意两边之差小于第三边．PA－PB≤AB .

作直线

AB，与直线

l

的交点即为

P．

PA－PB的值最大 . 【问题 11】

在直线

l

上求一点

P，使作法

作图

作

B

关于

l

的对称点

B＇作直线

A B＇，与

l

交点即为

P．

作法

作图

原理

三角形任意两边之差小于第三边．PA－PB≤AB＇ .

原理

两点之间线段最短．

PA+PB+PC 最小值＝CD．

PA－PB的值最大 .

【问题 12】“费马点”

△ABC

中每一内角都小于120°，在△ABC

内求一点P，使

PA+PB+PC 值最小．

所求点为“费马

点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以

AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连

CD、BE

相交于

P，点

P

即为所求．

例1：有一个养鸡场在两条交叉的道路之间.

要在道路OM旁建一座加工厂E，在道路ON旁建一座冷藏库F.为了使养鸡场到加工厂E再到冷藏库F的距离和最短，加工厂E和冷藏库F应建在何处？AE+EF最小

MAON

例2：有一条道路l和两个养鸡场A、B.

要在这条道路旁建一个加工厂E和一座冷藏库F(冷藏库F在加工厂E的右边），要求加工厂E和冷藏库F相距2km,为了使养鸡场A到加工厂E再到冷藏库F再到养鸡场B的距离之和最短，你能帮找到加工厂AE和冷藏库F应建在哪里吗？AE+EF+BF最小

课堂检测

1．如图所示，正方形

ABCD

的面积为

12，△ABE

是等边三角形，点

E

在正方形

ABCD

内，在对角线

AC

上有一点

P，使

PD+PE

的和最小，则这个最小值为（

）

A.23 B. 26 C.3 D.6

2．如图，∠AOB＝30°，点

M、N 分别在边

OA、OB 上，且

OM＝1，ON＝3，点

P、Q 分别在边 OB、OA 上，则 MP＋PQ＋QN 的最小值是_________．

3.在平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），点P在y轴的正半轴，∠

PA0=30°,点B在线段AP上，点E为线段OA上的一动点. （2）若点B为AP的中点，E点坐标（m，0），F点坐标（m+3，0），P点坐标为（0，4），当PE+EF+BF取最小值时求点E、F的坐标.

y

P

O

A

x

4．已知

A（1，1）、B（4，2）．（1）P

为

x

轴上一动点，求

PA+PB

的最小值和此时

P

点的坐标；（2）P

为

x

轴上一动点，求

PA



PB

的值最大时

P

点的坐标；

（3）CD

为

x

轴上一条动线段，D

在

C

点右边且

CD＝1，求当

AC+CD+DB

的最小值和此时

C

点的坐标；

拓展思考：在平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），P点坐标为（0，m），将线段PA绕P点逆时针方向旋转90°至PB，连接OB、AB，求OB+AB的最小值.

y

B

P

O

A

x