2.2.1 函数的单调性教学目标设计

1.能利用函数的图象研究函数的单调性.

2.理解并掌握函数单调性的概念及其几何意义,会求函数的单调区间.

中国传奇女子网球巨星李娜截止到2014年元旦世界排名第3,夺得了7个冠军,制造了中国网球多项纪录,她的打球特点是力量大、速度快、落点准,球在空中划过一道精美的曲线,上图是李娜的一记S球的电脑数据,我们把球在运动时的高度绘制成关于运动时间的函数图象.

[来源:Zxxk.Com]问题1:依据网球上升和下降的路径变化可以把图象分为

部分,总体上看函数图象的变化是先上升后降再

,最后

,利用函数的

可以研究函数图象上升与下降的变化过程.

问题2:(1)①增函数:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的

两个自变量的值x1,x2,当

时,都有

,那么就说f(x)在区间D上是增函数,区间D称为y=f(x)的

.

②减函数:如果对于区间D上的

两个自变量的值x1,x2,当

时,都有

,那么就说f(x)在这个区间上是减函数,区间D称为y=f(x)的

.

(2)如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么我们说函数y=f(x)在这一区间上

具有(严格的)单调性,称函数y=f(x)为

.

问题3:增函数和减函数的图象有什么特征?

在单调区间上增函数的图象从左到右是

的、减函数的图象从左到右是

的.

问题4:基本函数的单调性质

(1)一次函数f(x)=kx+b(k≠0):

当k>0时,y=f(x)的单调增区间为

,单调减区间

;

当k<0时,y=f(x)的单调增区间

,单调增区间为

.

(2)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0):

当a>0时,y=f(x)的单调增区间为

,单调减区间为

.

当a<0时,y=f(x)的单调增区间为

,单调减区间为

.

(3)反比例函数f(x)=

(k≠0):

当k>0时,y=f(x)的单调增区间

,单调减区间为

,

上述的单调减区间

不能用并集连接,小组讨论原因.

当k<0时,y=f(x)的单调增区间为

,单调减区间

.

1.右图是函数y=f(x),x∈R的图象,则函数f(x)在R上单调递

.

2.函数y=

的减区间是

.

3.已知函数f(x)=(5a-1)x+2在R上是增函数,则a的取值范围是

.

4.下图是定义在区间[-4,7]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一个单调区间上它是增函数还是减函数.

利用图象研究函数的单调区间

画出下列函数的图象,求下列函数的单调区间并指出每一个单调区间上函数的单调性.

(1)y=-5x+2;

(2)y=3|x|;

(3)y=x2+2x-3.

基本函数单调性的应用

已知二次函数y=ax2+bx+1的单调递减区间是[-2,+∞).则一次函数y=bx+a的图象大致是

.

由函数的单调性求参数的取值范围

已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)

[来源:Z.xx.k.Com]

画出下列函数的图象,并指出函数的单调区间及每一个单调区间上函数的单调性.

(1)y=|x-1|;

(2)y=x2-2|x|+1.

若一次函数f(x)=kx+k满足f(

)

),则该函数的图象不可能经过的象限是第

象限.

已知函数y=f(x)在[0,+∞)上是减函数,试比较f(

)与f(a2-a+1)的大小.

1.已知函数f(x)=-x2,则函数f(x)的单调增区间是

.

2.若函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,则f(a2+1)

f(a)(填“>”“<”或“=”).

3.下列函数在区间(0,2)上为增函数的是

.

①y=-3x+1;②y=

;③y=x2-4x+3;④y=

.

4.画出函数y=|x2-4x+3|的图象并指出其单调区间.

(2013年·浙江卷)已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则(

).

A.a>0,4a+b=0

B.a<0,4a+b=0

C.a>0,2a+b=0

D.a<0,2a+b=0

考题变式(我来改编):

第4课时

函数的单调性

知识体系梳理

问题1:4

上升

下降

单调性

问题2:(1)①任意

x1

f(x1)

单调递增区间

②任意

x1

f(x1)>f(x2)

单调递减区间

(2)单调函数

问题3:上升

下降

问题4:(1)R

不存在

不存在

R

(2)[- ,+∞)

(-∞,- )

(-∞,- ]

(- ,+∞)

(3)不存在

(-∞,0),(0,+∞)

(-∞,0),(0,+∞)

(-∞,0),(0,+∞)

不存在

基础学习交流

1.增

由图象的“升降”可知函数在R上单调递增.

2.(-∞,0),(0,+∞)

函数y=

的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),但是其在定义域上不单调,它

有两个单调减区间,应该写为(-∞,0),(0,+∞).

3.(

,+∞)

由5a-1>0,解得a>

.

4.解:函数y=f(x)的单调区间有[-4,-1.5),[-1.5,3),[3,5),[5,6),[6,7].

其中y=f(x)在区间[-4,1.5),[3,5),[6,7]上是减函数,在区间[-1.5,3),[5,6)上是增函数.

重点难点探究

探究一:

【解析】(1)函数y=-5x+2的图象如图所示,其单调区间为R,在R上为减函数.

(2)函数y=3|x|=

-

其图象如图所示,单调减区间为(-∞,0),单调增区间为[0,+∞).

(3)函数y=x2+2x-3=(x+1)2-4开口向上,对称轴方程为x=-1,图象如图所示,单调减区间为(-∞,-1),单调增区间为[-1,+∞).

【小结】(1)由图象的升降可判断函数的单调性;

(2)熟练掌握常见函数的单调性:开口方向和对称轴有关.

探究二:【解析】依题意可得- =-2,a<0,所以b<0,所以y=bx+a的图象大致为④中的图[来源学科网]

①一次函数y=kx+b的单调性由参数k决定;②二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性与象.

【答案】④

【小结】掌握基本函数的单调性是解决本题的关键.

探究三:【解析】由题意可知

解得0

①

又f(x)在(-1,1)上是减函数,

且f(1-a)

所以1-a>2a-1,即a<

.

②

由①②可知,0

.

故所求a的取值范围是(0,

).

-

-

-

-

【小结】解决此类与抽象函数有关的变量的取值范围问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为熟悉的不等式.若函数y=f(x)在区间D上是增函数,则对任意x1,x2∈D,且f(x1)x2,需要注意的是,不要忘记函数的定义域.

思维拓展应用

应用一:(1)函数可化为y=

-

其图象如图甲,

-

根据图象,可以看出函数y=|x-1|在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.

(2)函数y=x2-2|x|+1=

-

其图象如图乙,由图象可以看出,该函数在(-∞

,-1)上单调递减,在[-1,0)上单调递增,在[0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.

应用二:一

由f(

)

)可知一次函数f(x)=kx+k是减函数,所以k<0,与y轴交点为

(0,k),所以函数的图象不经过第一象限.

2+

≥

,

应用三:∵a2-a+1=(a-

)

又y=f(x)在[0,+∞)上是减函数,

∴f(a2-a+1)≤f(

).

基础智能检测

1.(-∞,0)

f(x)的图象开口向下,对称轴为x=0,所以f(x)在(-∞,0)上是增函数.

2.<

∵a2+1-a=(a-

)2+

>0,∴a2+1>a,

∴f(a2+1)

3.②

显然①④在(0,2)上为减函数;③中y=x2-4x+3=(x-2)2-1的对称轴为x=2,∴此函数在(0,2)上为减函数.

4.解:函数的图象如图所示.

由图可知,函数的增区间为[1,2],[3,+∞);减区间为(-∞,1),(2,3).全新视角拓展

A

由题意可得a>0,结合f(0)=f(4)得c=16a+4b+c,即4a+b=0.

思维导图构建

[来源学科网]

f(x1)

f(x1)>f(x2)