2.2.2 函数的奇偶性精品学案

苏教版必修一

2.2.2

函数的奇偶性

教学目标：

1、学生再次尝试从函数图像出发用数学符号语言概括图像的特征，逐步形成偶函数和奇函数的概念；

2、学生经历从特殊到一般、具体到抽象的研究过程，总结研究函数性质的一般方法，体会数形结合的思想方法；

3、初步掌握判断函数的奇偶性的一般方法。

教学重难点：

重点：偶函数、奇函数概念的形成；

难点：建立从函数图像的直观对称性到用数学符号语言的精确刻画函数对称性的关系。

教学方法与教学手段：

启发式教学，探究式教学，数学实验。

教学过程

【新课引入】

问题1：结合下列函数的解析式和图像说出他们的单调性，观察这几个函数，指出除了单调性之外还有什么性质。

f(x)=|x|

f(x)=x2

函数

图

像

性质

自

然

语

言

数

学

语

言

单调性

在y轴的左边图像上点的纵坐标随着横坐标的增大而减小，在y轴的右边图像上点的纵坐标随着横坐标的增大而增大

奇偶性

一般的设函数的定义域为D,在D的子

集I内任取两个数x1,x2,不妨设x1

若f(x1)>f(x2)则函数f(x)在I上单调递减

反应图像的局部性质

应

1、利用单调性比较大小；

用

2、利用单调性求最值。

[设计意图]复习函数单调性重温用数学语言描述图像性质的过程，为本节课从数的角度研究图像的对称性做准备，根据图像学生能凭直观感知知道图像关于y轴对称，进而设问除

了直觉以外我们还有什么方法判断？学生已有知识是轴对称的操作性描述，所以学生会用折叠的方法去验证。这张表格在函数奇偶性的定义、习题完成后让学生填写。

问题2：如何用数学语言去描述这样的对称呢？我们不妨以函数f(x)=x2为例来研究

[学生活动]通过探索讨论，会得到取点验证的方法

[设计意图]在老师的适当引导下将图的对称转化为特殊点的对称验证到所有点的对称，让学生再次感受研究函数图像性质的过程，为以后进一步研究函数性质和用解析的方法去研究曲线奠定基础。

问题3：过刚才同学们的努力,我们发现函数只要满足定义域内任意的x都满足f(-x)=f(x)，那么其函数图像就关于y轴对称，那么同学们能再举几个具备这样性质的函数呢？

[学生活动]同学们经过思考能举出f(x)=x4,f(x)=x6……

[设计意图]这样设问旨在让学生从知道大概形状的情况下判断函数图像是关于y轴对称的，到形位置也能通过解析式来判断函数图像关于y轴对称，体验一种成就感。

定义形成

偶函数的定义：一般的，设函数y=f(x)的定义域为A，如果对于任意x∈A，都有f(-x)=f(x)

那么称函数y=f(x)是偶函数

根据偶函数特征知道偶函数的图像关于y轴对称

问题4：（陈题新做）看课本34页，回顾f(x)=|x|的图像的画法，同学们对这个函数的图像的做法有没有新的想法呢？

[学生活动]首先发现这个函数是偶函数，所以这个函数的图像是关于y轴对称的，所以我们只要先解决x>0的图像，然后作对称图像就可以了。

[设计意图]通过陈题让学生运用新学知识解决体验学习判断一个函数为偶函数的作用，让学生用一个成语总结：事半功倍!同时也为进一步训练判断一个函数的奇偶性的必要性。

类比生成新知：

问题5：我们函数中还有一类很特殊的对称：中心对称，我们把具有这一类性质的函数叫奇函数，请同学们类比偶函数的形成过程体验一下奇函数的定义过程！

[学生活动]通过思考，小组讨论形成奇函数的定义

奇函数的定义：一般的，设函数y=f(x)的定义域为A，如果对于任意x∈A，都有f(-x)=-f(x)

那么称函数y=f(x)是奇函数

根据奇函数特征知道奇函数的图像关于原点对称

定义辨析

例1、对于定义在R上的函数f(x)，下列判断是否正确？

1、若f(2)=f(-2),则函数f(x)为偶函数；2、若函数f(x)为偶函数，则f(2)=f(-2)；

3、若f(2)≠f(-2),则函数f(x)不是偶函数；4、若f(2)=f(-2)，则函数f(x)不是奇函数。

[设计意图]在概念形成后，用这样的一道题来进一步加强同学们对概念的理解，在1、2两道题可以是先后出现在PPT上，让学生感受条件和结论互换位置的过程，灌输一种研究一个命题的方法：正的行，那么反过来行么？培养学生主动探究问题的能力。

例2、判断下列函数是否具有奇偶性，并给出理由

（1）、f(x)=x2

-1

（2）、f(x)=2x

（3）、f(x)=2|x|

（4）、f(x)=(x-2)2

[师生活动]首先由学生说第一条的判断过程，老师在黑板规范板书；然后由学生完成2、3两道题，可以由学生上黑板扮演也可以大屏展示学生的过程进一步规范学生解答过程，并由学生来说需要进一步规范的理由。对于第4条是处理的难点，学生说f(x)与f(-x)和-f(x)的解析式都不同，所以不是奇函数也不是偶函数，此时不宜急于否定学生的想法，而是引导学生来分析怎么样来说明不是任意x都有的问题，通过讨论发现只要举出一个反例就可，进而得

出第4题的解题方法。

[设计意图]通过简单函数奇偶性的判断来巩固奇偶函数的定义，进一步解决否定一个函数具有奇偶性的方法。

问题6、在第4小题的结束后学生会发现还有一个新的模型，那么你还能举出几个也是非奇非偶的函数么？

[学生活动]学生可以举出很多函数，其中有函数f(x)=x2 , x∈(-2，2]这样的函数

[设计意图]通过学生活动自己总结出一个函数要想具有奇偶性，这个函数的定义域必须是关于原点对称的，进而对奇偶函数的定义中的A作出强调，同时进一步完善刚才解答过程，开始交代函数定义域并判断其是否关于原点对称。

回顾：请同学们完成上面的表格，

[设计意图]让学生对本节课有一个整体的认识，更进一步的理解函数的奇偶性是函数的整体性质。

课堂小结：(学生总结老师补充) 知识：函数奇偶性的定义和奇偶函数的图像特征；

方法：从数的角度去研究图像特征的方法：形---点---数----形；

思想: 数形结合、转化化归、特殊到一般。

课后作业: 课后练习P43

1、5、6、7 习题2.2P44

6 [作业设计意图]前4道目的在于巩固判断函数奇偶性的方法，最后一道题让学生运用函数奇偶性去解决问题（画图）。

教学反思

本节“函数的奇偶性”是学生学习了函数的单调性这一性质后学习的函数第二个基本性质，其研究方法是用数学语言刻画函数图像的点调性的再次运用，也为研究函数的周期性指明了方向，同时也是为从方程角度出发研究圆锥曲线的性质奠定基础。

本节课的设计遵循“知识回顾----直观感知----操作确认----理论论证”的认识过程，注重引导学生通过观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理等活动，从图像上的特殊点到任意点，从而形成概念。

本节课的设计注重训练学生从图形语言到文字语言再到数学符号语言的表述，培养学生对数和形的关系的论证。比如上课开始时的复习引入，让学生用三种语言的表达，用来引导学生进行本节课的内容探究。

点评

本节课整体设计流程合乎学情，能够很好的解决本节课的难点用数学语言刻画函数图像的对称性，高效的完成本节课的重点内容—--判断简单函数的奇偶性。老师能充分的将课堂让给学生，定义的生成基本是由学生完成，老师只是在过程中起到适当点拨的作用，特别是在处理一个函数不奇函数也不是偶函数的地方没有很急的教给学生而是让学生慢慢讨论再自己举例，让学生能够慢慢理解为什么举反例，为什么要判断定义域的对称性。