3.1.1 分指数函数课堂实录【1】

“2.1.2 指数函数及其性质

（1）“ 教学设计

一，教学内容解析

必修

1 （人教

A 版）第二章是在前一章已经学习了函数概念、研究了

函数基本

性质的基础上，具体研究指数函数、对数函数、幂函数三种基本初等函数 . 其中“指数函数”这一部分又分为“指数与指数幂的运算”和“指数函数及其性质”两小节 . 第一小节把整数指数幂运算扩充到了整个实数范围，为本节研究指数函数打好了基础 . 指数函数作为高中新引进的第一个基本

初等函数，它不仅是描述现实世界中呈“爆炸性”增长规律的一个重要

数学模型，而且为接下来学习对数函数与

幂函数提供了类比的学习方法 . 本节课的教学设计是第一课时 . 本节课属于新授课，通过

情境引导、组织探究、动手实践、合作交流等方式

，让学生

了解指数函数模型的实际意义；理解、掌握指数函数的概念和基本性质；

感受（

体会

）

研究

具体函数及其性质的过程

，

体验从特殊到一般

、

数形结合、

分类讨论

等数学

思想方法 . 指数函数是学生完全陌生的一类函数，

对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的难题之一。

二，学生学情分析

1. 已具备的认知基础

：

通过初中对正比例函数、反比例函数、一次函数，二次函数等

函数

的

学习

，

学生对

“ 描点法

” 描绘函数图象的方法已基本掌握，

通过

高中

对

函数

及其表示，函数的基本性质的学习，学生已经

基本掌握

了研究具体函数性质的基本方法，

为

本节课

研究指数函数

的

图象、

性质做好

了

准备 . 课前学生已完成的预习作业

： （1）

阅读教材

54 页

-56 页，（2）

用描点法在同一坐标系下画出，，，

和的图象

。

2。

需要的认知基础：从具体

到

一般

得到指数函数性质的能力 . 在老师的引导下，学生通过教学过程

中的问题串

的探究，观察动画，不难

归

纳出

性质 . 3 . 班级学生特点：

（

高一学生的认知水平处在从形象向抽象、从特殊向一般过渡，思维能力的提高是一个转折期，

）

本班是年级基础中等偏上的班级，理科意向学生偏多，

有主动学习的愿望与能力 . 学生思维较活跃，表达较欲望强烈，学习习惯好，自主

探究、合作探究

能力较高 . 4 . 学校课改背景：为进一步推进湖南省基础教育综合改革，加快基础教育现代化建设步伐，经湖南省教育厅批准，我校自

2012 年开始现代教育实验学校建设工作 . 建立自主、合作、探究的课堂教学体系是这次实验建设的重点和难点，

平时学生的座位都是按照

6 人互动学习小组编排，

所以学生已经习惯了“一体二化三导四学”教学模式和自主学习模式 . （一体二化三导四学：以学生为主体，教学内容问题化，教学活动探究化，

引导，指导，督导，自主学习，探究学习，合作学习，体验学习

）

鉴于对学生已有的知识基础和认知能力的分析，根据

《普通高中数学课程标准

( 实验

) 》

的

教学

要求，我确定本节课的教学目标、教学重点和难点如下：

（

二）

教学重点

：

指数函数的图象和性质探究

。

（

三

）

教学难点

：

1. 指数函数的图象性质与底数

一

的关系

。

2. 指数函数的性质的初步应用

。

三。

教学目标设置

（

一

）

教学目标

1. 知识与技能

：

(1) 了解指数函数模型的实际背景、初步体会指数函数是一类重要的函数模型；

(2) 掌握

指数函数的概念、

会判断一个函数是否是指数函数，掌握指数函数

基本

性

质，并会用指数函数性质比较两个数的大小，

会解简单的指数不等式，

会画指数函数的大致图象，

会辨认处在同一坐标系中的多个指数函数图象 . 2. 过程与方法

：

通过描点作图，观察、分析、归纳、总结、自主构建指数函数图象性质体系，进一步熟练通过函数图象来研究函数性质的方法，领会数形结合思想、分类讨论思想 . 通过例题练习的解决，培养识图用图能力

。

3，

情感与态度

(1) 通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，

让学生在轻松、自然的课堂中收获玩数学的快乐，体验数学的科学价值和应用价值；

(2) 通过引导学生主动参与分析图象，

体验从特殊到一般的学习规律，

培养学生的

勇于

探索精神，

培养学生用联系的观点看问题 . （

3 ）通过小组交流、合作探究，让学生学会在交往中合作，形成大方、健康的个性 . (4) 通过对指数函数图象的探究，感受数学美，通过对指数函数性质的理性研究，感受数学

学科

的严谨性 . （

二）

教学重点

：

指数函数的图象和性质探究

。

（

三

）

教学难点

：

1. 指数函数

概念中对

a 的规定，

2. 指数函数的性质

的初步应用 . 四，教学策略分析

1.教学材料的选择和组织

为了学生更好的学习，我对教学资源进行了较为科学的整合，比如：

为了加深学生指数函数概念的理解，我设置了练习

1 、

2 ；

为了培养学生作图、识图、用

图

能力，我布置了描点作图的预习作业，设置了

变式

练习

3 ；

为了让学生感受“爆炸函数”的应用之广泛，我设置了展示应用模型和课后网络作业 . 具体从三个方面给以说明

：

（1）

巧妙创设课题情景

以

学生熟悉的折纸问题为背景

提出

实例，一方面，这个问题可以抽象出的两个指数函数：

，一个底数大于

1 ，一个底数小于

1 ，具有一箭双雕功能，另一方面，让学生初步感受“指数爆炸”现象

，

不仅激发了学生的学习兴趣，让学生体会到数学来源于生活实际，而且为顺利引出指数函数定义作了铺垫，达到从特殊到一般、

感性认识

到

抽象思维过渡 . （2）

典型习题例题化

例

2 的变式（

2 ）原本是教材

60 页的习题，我将它放在依次递进的思维环境中：对于不等式

(1) ，引导学生直接利用指数函数单调性来解不等式（

1 ），对于（

2 ），要先化同底，不等式（

3 ）要分情况讨论，渗透分类讨论思想 . 我这样处理，目的是利用变式教学来培养学生思维

的

灵活性与广阔性，

更符合学生的认知规律 . （3）释疑解惑

在释疑解惑环节，我将学生提出的比较有代表性的原始问题拿到课堂进行探讨，一方面是对学生的尊重，另一方面是表扬提问的学生，鼓励学生多提问，主动大胆质疑，唤起学生的创新意识 .

2.教学方法的选择

（1）提炼规律，寓教于乐

在学生总结出指数函数性质后，老师给出能形象描述图象特征的打油诗，希望借助“顺口溜”通俗易懂的语言特性，增添课堂气氛与活力，提高学生兴趣，对学生掌握图象及其性质达到事半功倍的效果 . （2）

运用数学软件，探究数学问题

本设计中多处借助几何画板强大的作图功能

, 使数学知识的呈现更加直观 . 比如

，在探究指数函数图象形状时，老师利用几何画板动态展示

图象的形状随底数

a 的变化过程，方便学生从特殊到一般归纳出指数函数

的图象

大致分成两类

；

在探究指数函数性质时，

再次

利用几何画板动态展

示图象，

使学生能更

直观的

地观察函数图象的变化过程，

从而总结出指数函数的基本性质，在进行深入探究时，老师又一次借助几何画板，引导学生直观看出指数函数的图象与

y 轴的相对位置关系随着底数的变化规律，

达到

了

突破难点与提高学习效率的目的 . （3）借助现代手段，高效处理数据

在

课题引入环节

，学生借助科学计算器快速处理数据，很快算出对折

43 次后纸的厚度，与高效课堂理念相吻合 . （4）利用网络平台，拓展数学视野

学习结束后，我布置了如下网络作业：请每个学习小组利用网络或结合生活实际找寻有关指数函数应用的实例

2 个，下节课展示 . 学生通过上网查找资料，完成作业，不仅可体会到指数（型）函数应用之广泛，而且提高了自己的信息素养 . （5）

运用最近发展区原理

，促进能力内化

“最近发展区理论”认为，教学应着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能 . 因此

, 在

引出指数函数概念之后，我马上设置了练习

1 ，

2 ，促进学生对概念的理解

；在进行完探究（一）后，我接着设置了例

1 和例

2 ，分别是利用指数函数的单调性比大小、解不等式问题，培养学生应用指数函数性质解决问题的能力；

在进行完“深入探究”后

，我

又设置了变式练习

3 ，进一步强化学生识图能力，加深对指数函数图象性质的理解 .

3.设计问题串，

引导学生思维

在

学生根据图象

探究指数函数性质时，我

通过

分层次设置探究问题

来着重培养学生数形结合能力，让学生体会数与形

的

统一性：

其中探究（一）是比较浅层次的，

每一个

直观的图象特点都对应着

教材上的性质

；

考虑到学生以后会经常运用图象来直观得出函数值的大小、范围，因此在介绍完“顺口溜”后，我

又引导学生总结出了指数函数值在

y 轴左右两侧的分布情况；

为了进一步提高学生识图、画图、用图的能力，我又设置了“深入探究”环节，引导学生从特殊到一般归纳出指数函数图象特点：

当

a >1 时，底数越大，指数函数图象在

y 轴右侧

的部分

离

y 轴

越

来越靠近

，

当

0< a <1 时，底数越大，指数函数图象在

y 轴

左

侧的部分离

y 轴越来越

远

，

从而形成在同一系下辨认多个指数函数的技能 .

4.对不同认知基础的学生提供帮助

在小组进行合作探究的时候，老师会加入其中，对其中

个别有困难的组和学生提供个性化的帮

助，

在学生做练习的

时候，老师会全班巡视，视情况给出指导 . 释疑解惑环节的设置，也是对不同认知基础的学生

给不同的发展平台 . 5. 及时反馈学生的问题

（1）

借助现代手段，反馈即时信息

在本设计中，利用实物投影仪展示学生作品，及时反馈学生认知情况

。

(2) 学生上黑板演练

后，师生共同对所其书写格式、方法运用等问题进行点评，反馈

（

3 ）本设计中多处有学生回答问题、汇报探究结果的环节，当学生讲完后，老师及时予以必要的肯定或纠正 .

五教学过程：

（一）教学流程

创设情景，

启迪思维→深入剖析

，

加深理解→自主探究

，

合作交流→

理论迁移，

初步应用→深入探究

，

提升能力→释疑解惑

，

鼓励质疑→

归纳小结，

提炼升华→课外探究

，分层落实

（二）每个环节的具体教学设计

（1）“创设情境，启迪思维”环节

问题

师生互动

设计意图

1，情景引入：

1，（开场白）

1.

.

本环节中，我从大家熟知的阿（1）

一般普通用纸的厚度是

，

那么对阿基米德曾经豪言：给米德豪言引出老师的壮语，巧妙创设课我一个支点和一根足够情境，激发学生的好奇心和求知欲望

.

折次后纸的厚度是多少？

长的杠杆，我就可以撬动生通过借助科学计算器计算，并且初步万公里

38万公里）。

地球。

受神奇的“指数爆炸”现象

.

（2）请

写出对折后纸的层数

Ÿ

与对折次老师说：给我一张足够2.

学生容易得出每次对折后的层数数

点¯x

的关系式;

大的白纸，只要将其对折（

3

）设这页纸的面积为

1

个

单位，则对43次后，其厚度就足够可每一层纸的面积分别与对折次数的关系折后

纸的面积

S

与对折次数

x

的关系怎以架起一座从地球到月式：

与

，并且顺势引导学生从从特殊到一般归纳出指数函数概念，帮助学生从样？

球的桥梁，你信吗？

性认识到抽象思维过渡

.

2，动手操作：

学生各自拿起手中的用2.在现实生活中，类似上述模型有哪些应计算器算出对折43次后

用？

的厚度.师生共同得出每

次对折后，纸的层数及面3.

通过展示指数函数在生活、生产中的

积分别与对折次数之间用实例，让学生体会到数学来源于生活

的函数关系.

必将服务于生活

。

4、老师展示出细胞增长模型、核裂变模型、银行复利增长模型，高山压强模型，臭氧含量模型等.

（2）“深入剖析，加深理解”环节

问题

师生互动

设计意图

形成概念：

我们把形如的函数叫做指数函数，其中

点¯x

是自变量

。

函数的定义域为

R.。

问题1：

为什么规定

“”？

练习1.已知

Y

=

F（X）

是指数函数，且其图象过

，

求函数

Y

=

F（X）

的解析式。

练习

2 ..

若函数是指数函数

，

求实数一

的值

。

1.

定义中对

a

的规定是本节课的一个点，为突破难点，采取

提问，师生、生交流

的形式，互相启发，补充，培养学练习1,2采用学生口述

。

思维的严谨性

.

老师强调指数函数定义的形式化特点

。

2.练习1实际是教材例6的改编，目的加深学生对指数函数呈现形式的理解，时也复

习

了待定系数法求解析式，让生

明白，确定一个指数函数的解析式，只要1个独立的条件。

3.练习

2

的设置为了进一步加深学生指数函数形式的理解，在求得

a

的两个后，必须舍去一解，是个易忽略点.

（3）“自主探究，合作交流”环节

问题

1，回顾研究基本初等函数性质的基本方法和步骤：

先给出函数的定义作出函数图象

研究函数性质

：（1）定义域（2）值域（3）单调性（4）奇偶性（5）其他

2，

小组组内交流预习时所画图象，选

3个代表作品进行展示

。

3.动态演示

：

老师通过几何画板动态演示指数函数图象随底数一个

的变化过程。

师生互动

1，

小组内部交流预习时所画图象。

2，

展示学生代表所画的图象。

老师动态演示，师生同时共同归纳出：指数函数的大致图象分为

和

两种情形，并且板书两种图象.

设计意图

1.指数函数是学完函数概念及基本性之后研究的第一个重要基本初等函数，学生进一步熟悉研究一个新的具体函的方法很重要.

2.

在理解指数函数定义的基础上掌握数函数的图

象

与性质，是本节的重点

.键在于弄清底数

a

对于函数值变化的响

.

3.

这里借助

几何画板

强大的作图功能

,

动态展示图象

的变化过程，使学生更方便地观察函数图象的形状、位置的化，这样可以帮助学生从特殊到一般发规律，达到突破难点与提高学习效率的的

.

4.探究（一）

当一个变化时，

观察指数函数的图象

，请

思考如下问题串

（一）：

问题1，

图象分别位于哪几个象限

？

与点¯x

轴的相对位置关系如何？

学生结合函数图象，经历自主观察、推理、归纳、组内合作探究等学习过程、派代表汇报结果，师生共同完成指数函数性4.

现代教育实验学校建设倡导学生的主合作探究学习模式，我们年级每一个的座位都排成“互动探究式”，学生平的学习也都按学习小组形式进行

.在指函数图象、性质探究教学过程中，我坚

问题2。

图象过定点吗？

质的表格.

问题3。

函数的单调性与

一个

有何关系？

5.

帮助记忆

：

指数函数图象口诀

：

左右无限上冲天，

永与横轴不沾边

。大

1

增，小

1

减，

图象恒过（0,1）点

。

6.完善表格：

问题：就单个指数函数而言，其函数值（与1比较）在Ÿ轴两侧有何特点？

以学生为主体，学生思维为主线，体现学生学习的主体性，有利于学生养成主、合作、探究的学习习惯

.

5.

这里我运用了“将教学活动探究化，教学内容问题化”的教学模式，这里逐设置的

3

个问题是为了引导学生归纳、结出指数函数的对应性质，体会数形的一性：函数性质是对函数图象的理论画，函数图象是对函数性质的直观反映二者相辅相成

.

6.

借助“顺口溜”通俗易懂的语言特性增添课堂气氛与活力，提高学生兴趣，学生掌握图象及其性质达到事半功倍效果

.

（4）“理论迁移，初步应用”环节

问题

--师生互动

设计意图

1.对于例1，学生先自例1比较下列各题中两个值的大小：

（1）1.7

2.5

与

1.7

3

;（2）0.8

0.1

与

0.8

0.2

;

主思考，再在老师启发

下完成，

老师板书

规例2解下列不等式：

范的解题过程.

变式1：解下列不等式：

变式2：解下列不等式：

2.引导学生观察（1）

（2），不难发现，两个幂同底

数

不同指数

，可以看作某一指数函数两个不同的函数值，再利用函数单调性来比较

3.例2师生共同完成，变式练习由学生自主完成

，

老师投影学生做的两个变式

。

1.本题可采用不同方法解决，如直算器计算，这里重点要引导学生构函数比较大小，不仅进一步加深对数图象的理解，更是培养学生数形能力.

2.当底

数相

同指

数

不

相

同时，个指数函数即可，当底

数

和指数时，可以借助中间量进行比较，这量往往是0和1.

4.例2的变式（2）原本是教材6题，我将它放在依次递进的思维对于不等式(1)，引导学生直接利函数单调性来解不等式（1），对要先化同底，不等式（3）要分情渗透分类讨论思想.我这样处理，利用

变式教学来培养学生思维

的与广阔性，

更符合学生的认知规律发展区原理

.

（5）“深入探究，提升能力”环节

问题

7.深入探究

探究当

a,b

分别满足下列条件时，在同一直角坐标系中，函数

与

的

图象的相对位置关系

？

师生互动

设计意图

老师巡视，视情况对后进生进行指导

。

喊

2位同学上黑板

。

变式3。

如图是指数函数①②，③，④

的图象

，

则正数

1 的大小关系依次为___________。

7.

设置深入探究

的

目的是，通过引导观察图象，得出

指数函数图象与y轴的位置是与底数的

大小有一定的联系.

同时

，引导学生通过特殊值法来确定同标系中多个

指数函数图象的相对位置关从而培养学生的

作图能力，

进一步

渗形结合思想

.

设置变式3，可以很好地检验学生对指数图象的深入理解。

（6）

“释疑解惑，鼓励质疑”

环节

问题

1.

展示学生在预习过程中提出的比较有代表性的3个问题。

2.

问题1（达毅婷）：

函数的自变量在指数位置

，它是指数函数吗？

问题2（余博涛）：

指数函数图象为何不与轴相交

？

问题3（熊思宇）：

当时

，

一定有吗

？

2，老师问：就本节课的内容，你还有什么疑问？

师生互动

设计意图

让学生自主释疑，回答，

“学起于思，思源于疑”，

爱因经说过：“提出一个问题比解决老师适时点拨。

题更重要。”我在检查学生的预时，搜集到以上

3

个代表性问题其拿到课堂进行共同探讨

.这样做学生的尊重，更是鼓励学生大胆唤起学生的创新意识，把以学定实处

。

（7）

“归纳小结，提炼升华”

环节

问题

师生互动

设计意图

通过本节课的学习：

（1）你学到了哪些数学知识？

（2）你掌握了哪些数学解题方法？

（3）你体验了哪些数学思想？

请

3

位学生自主小结

，相互补充

，

最后老师简要小结

。

建构主义认为，

教学是学生

构

体系

的过程

.通

过引导学教

学

内容、

解题方法、数学个层面交流一节课的收获，

结，相互补充

，充分发挥近因有效促进学生知识体系构建.

（8）

“课外探究，分层落实”

环节

问题

师生互动

设计意图

作业布置：

学生独立

（1）必做题：①“

自主学习册必思考，自

修

1，

训练案

1”

第3课时

我类题

主完成

。

②利用网络或结合生活实际找寻有关指数函数应用的

实例2个。

（2）选作题：

“自主学习册。必修1。

训练案1“

第3课时II

类

题，III

类题。

1、

华罗庚曾说过，“学数学如果不做习题，就等于宝山而空返”，而设计有针对性的好练习则成为必要《自主学习册》是我校

20

12级高一年级在现代教育验学校建设过程中的一大研究成果，是我们数学教研的集体智慧结晶，它是各位数学老师在教研组长带领下，从学生实际出发，遵循因材施教、学思结合、知统一的育人原则，围绕提高学习效率，减轻学生负担一核心，结合教材练习习题、相

关高考题编制而成，个课时都是顶格设计、学生有选择性的分层完成

《自学习册》

.对于学生学习的基础落实和能力培养都有

好的督促作用.

2.设计必做题和选作题，意在既巩固所学

知识，又给有余力的学生以更大的发展空间，体现了因材施教的则.

3.布置网络作业，充分利用网络平台挖掘优质学习源，不仅让学生体会到指数（型）函数应用之广泛，且培养了学生的信息素养

.

附1：板书设计：

指数函数及其性质（1）

一，定义：

三应用：

二图象及性质：

例1解：

（1）

（3）

例2.解：

四，

深入探究

（1）（2）