1.1 集合的含义及其表示教学实录与评析

第1章

集

合

§1.1

集合的含义及其表示

第1课时

集合的含义

课时目标

1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．

1．一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个________．集合中的每一个对象称为该集合的________，简称______．

2．集合通常用________________表示，用____________________表示集合中的元素．

3．如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a____A，读作“a______A”，如果a不是集合A的元素，就说a__________A，记作a____A，读作“a________A”．

4．集合中的元素具有________、________、________三种性质．

5．实数集、有理数集、整数集、自然数集、正整数集分别用字母____、____、____、____、____或______来表示．

一、填空题

1．下列语句能确定是一个集合的是________．(填序号) ①著名的科学家；

②留长发的女生；

③2010年广州亚运会比赛项目；

④视力差的男生．

2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是________．(填序号) ①0∈A；②a∉A；③a∈A；④a＝A. 3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是________．(填序号) ①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形．

4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是________．(填序号) ①1；②－2；③6；④2. 5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为________．

36．由实数x、－x、|x|、x2及－x3所组成的集合，最多含有________个元素．

7．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号) ①不超过π的正整数；

②本班中成绩好的同学；

③高一数学课本中所有的简单题；

④平方后等于自身的数．

8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．

9．用符号“∈”或“∉”填空

－2______R，－3______Q，－1_______N，π______Z. 二、解答题

10．判断下列说法是否正确？并说明理由．

(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；

(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；

31(3)1,0.5，，组成的集合含有四个元素；

22(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．

11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.

能力提升

12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？

113．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A (a≠1)．

1－a求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；

(2)集合A不可能是单元素集．

1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．

2．集合中元素的三个性质

(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．

(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．

(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．

第1章

集

合

§1.1

集合的含义及其表示

第1课时

集合的含义

知识梳理

1．集合

元素

元

2.大写拉丁字母A，B，C…

小写拉丁字母a，b，c，…

3.属于

∈

属于

不属于

∉

不属于

4．确定性

互异性

无序性

5.R

Q

Z

N

N*

N＋

作业设计

1．③

解析

①、②、④都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．

2．③

解析

由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”．

3．④

解析

集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的．

4．③

解析

因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将各项中的数值代入验证知填③. 5．3 解析

由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；

若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，

当m＝0时，与m≠0相矛盾，

当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．

6．2 3解析

因为|x|＝±x，x2＝|x|，－x3＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形

式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．

7．①④

解析

①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④. 8．－1 解析

当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1. 9．∈

∈

∉

∉

10．解

(1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．

(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．

1(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝，在这个集合中只能作2为一元素，故这个集合含有三个元素．

(4)不正确，因为个子高没有明确的标准．

11．解

由－3∈A，

可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，

3∴a＝－1或a＝－. 2则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．

37当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，

223∴a＝－. 212．解

∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；

当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；

当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11. 由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．

113．证明

(1)若a∈A，则∈A. 1－a1又∵2∈A，∴＝－1∈A. 1－211∵－1∈A，∴＝∈A. 1－－1211∵∈A，∴＝2∈A. 211－21∴A中另外两个元素为－1，. 21(2)若A为单元素集，则a＝，

1－a即a2－a＋1＝0，方程无解．

1∴a≠，

1－a∴A不可能为单元素集．