2.2.2 函数的奇偶性教学设计及教案分析

高三数学复习——函数的奇偶性

【考纲解读】

要 求

内 容

A

B

C

1．了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断备注

函数概念与基本初等函数Ⅰ

一些简单函数的奇偶性．

√2．掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并能熟练地利用对称函数的基本性质

性解决函数的综合问题．

【直击教材】

11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝________. x【答案】－2 2．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________. 【答案】－1 3．定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝log2(2＋x)＋(a－1)x＋b(a，b为常数)，若f(2)＝－1，则f(－6)的值为________．

【答案】4

【知识清单】

1

函数奇偶性的判断

奇偶性

偶函数

定

义

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数

图像特点

关于y轴对称

奇函数

关于原点对称

2

函数奇偶性的应用

(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．

利用奇偶性关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．

(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．

常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．

(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

（4）抽象函数的奇偶性就是要判断－x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断．

3.函数的周期性

(1)周期函数[来源学科网ZXXK]

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

【考点深度剖析】

函数的奇偶性在高考中占有重要的地位，在命题时主要是与函数的概念、图像、性质综合在一起考查．而近几年的高考中加大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性、周期性的考查力度．

【重点难点突破】

考点1

函数奇偶性的判断

【1-1】判断函数f(x)＝1－x2＋x2－1的奇偶性；

【答案】f(x)既是奇函数又是偶函数．

学#科网

1x20【解析】解：∵由2得x＝±1 x10∴f(x)的定义域为{－1,1}．

又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，

即f(x)＝±f(－x)．

∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

4－x2【1-2】判断函数f(x)＝的奇偶性；

|x＋3|－3【答案】f(x)是奇函数．

4x20【解析】∵由得－2≤x≤2且x≠0. |x3|30∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，[来源:Zxxk.Com]

4－x24－x24－x2∴f(x)＝＝＝，

x|x＋3|－3x＋－3∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．

x2x,x0【1-3】判断函数f(x)＝2的奇偶性；

xx,x0【答案】f(x)是偶函数．

【1-4】判断函数f(x)＝3－2x＋2x－3的奇偶性；

【答案】f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

3【解析】∵函数f(x)＝3－2x＋2x－3的定义域为{}，不关于坐标原点对称，

2∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数

【思想方法】

1．判断函数奇偶性的两个方法

(1)定义法：

(2)图像法：

2.判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．

【温馨提醒】定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件

考点2

函数奇偶性的应用

【2-1】已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________. 【答案】－1. 【解析】(1)∵y＝f(x)＋x2是奇函数，且x＝1时，y＝2，∴当x＝－1时，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1. 学科#网

【2-2】设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式【答案】

(－∞，－2)∪(0,2)．[来源学§科§网Z§X§X§K]f(x)f(x)0的解集为________.\ x

【2-3】设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x)＝f(x＋4)，当x∈[－2，0)时，f(x)＝2x，则f(2 014)－f(2 013)的值为_______.1【答案】

4【解析】由题可知函数的周期为4，故f(2 014)－f(2 013)＝f(2)－f(1)．因为f(x)是R上的奇函数，所以f(2)11111－2－1＝－f(－2)＝－2＝－，f(1)＝－f(－1)＝－2＝－，所以f(2 014)－f(2 013)＝－＋＝.

42424【2-4】已知函数f(x)＝x2【答案】-1 【解析】由已知必有m2－m＝3＋m，即m2－2m－3＝0，∴m＝3，或m＝－1；[来源学科网ZXXK][来源学科网ZXXK]

－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)＝________.[来源学科网ZXXK]

当m＝3时，函数即f(x)＝x－1，而x∈[－6,6]，∴f(x)在x＝0处无意义，故舍去；

当m＝－1时，函数即f(x)＝x3，此时x∈[－2,2]，∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1.[来源学§科§网]

【思想方法】

①若函数f(x)为偶函数，则函数在y轴两侧单调性相反；若函数f(x)为奇函数，则函数在原点两侧的单调性相同．

②利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上的问题，是简化问题的一种途径．

【温馨提醒】奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性．

考点二

函数的周期性[来源:Z_xx_k.Com]

设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数；

(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)．[来源学科网ZXXK]

[由题悟法] 1．判断函数周期性的2个方法(1)定义法．

(2)图象法．

2．周期性3个常用结论

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，

1(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a，

fx1(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．

fx[来源:Zxxk.Com]

[即时应用] 1．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________. 【解析】由f(x)是R上周期为5的奇函数，知

f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，

f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，

所以f(3)－f(4)＝－1. 【答案】－1 12．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)的值fx为________．

【答案】1 345 1【解析】因为f(x＋2)＝－，

fx

考点三

函数性质的综合应用

角度一：奇偶性的应用

1．函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)＝________. 【答案】－2x

－【解析】x>0时，－x<0，因为x<0时，f(x)＝2x，所以当x>0时，f(－x)＝2x.因为f(x)是R上的奇函数，所以当－x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2x. 学#科网

－角度二：单调性与奇偶性结合

2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a1|)＞f(－2)，则a的取－值范围是________．

13【答案】2，2

【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)113－－上单调递减．由f(2|a1|)＞f(－2)，f(－2)＝f(2)，可得2|a1|＜2，即|a－1|＜，所以＜a＜. 222角度三：周期性与奇偶性结合

2a－33．已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围是________．

a＋1【答案】(－1,4) 2a－3【解析】因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)＝f(－1)＝f(1)，即<1，

a＋1化简得(a－4)(a＋1)<0，

解得－1

4．已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,1]上是递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是________．[来源:Z§xx§k.Com]

【答案】f(0)

[来源:Zxxk.Com]

[通法在握] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略

(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．

(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．

[演练冲关] 1．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________. 【答案】－2 【解析】因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4，又f(x)在R上是奇函数，所以f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2. ax＋b，－2≤x<0，2．设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f(x)＝则f(2 018)＝ax－1，0

________. 【答案】0 【解析】设0

【易错试题常警惕】

1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．

2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．

3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．

4.f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件. 2x已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0，1)时，f(x)＝x. 4＋1(1)求f(1)和f(－1)的值；

(2)求f(x)在[－1，1]上的解析式.[来源:Zxxk.Com]

解

(1)∵f(x)是周期为2的奇函数，

∴f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，

∴f(1)＝0，f(－1)＝0. (2)由题意知，f(0)＝0.当x∈(－1，0)时，－x∈(0，1). 由f(x)是奇函数，

2－x2x∴f(x)＝－f(－x)＝－－x＝－x，

4＋14＋12综上，在[－1，1]上，f(x)＝

－，x∈（－1，0），4＋10，x∈{－1，0，1}.xx2x，x∈（0，1），4x＋1