3.2.2 对数函数课件配套优秀公开课教案设计

课

题：对数函数(第一课时)

江苏省金湖中学 陈 兵

课 型：新授课

教学目标：1.使学生掌握对数函数的定义，会画对数函数的图象，掌握对数函数的性质。

2.通过对数函数与指数函数互为反函数的教学，学生进一步加深对反函数概念及函数和反函数图象间的关系的认

识与理解。

3.通过比较、对照的方法，使学生更好地掌握两个函数的定义图象及性质，认识两个函数的内在联系，提高学生 对函数思想方法的认识和应用意识。

教学重点：对数函数的定义、图象及性质。

教学难点：由对数函数与指数函数互为反函数这一关系，利用指数函数图象及性质得到对数函数的图象及性质。

教学手段：多媒体

教学方法：启发式教学

教学过程设计

一、复习回顾，导入课题

师：在新课开始前，我们先复习一些有关概念。什么叫对数？

生：若ab=N，则数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b．其中a为底数，N是真数。

师：各个字母的取值范围呢？

生：a＞0且a≠1；N＞0；b∈R。

师：这个定义也为我们提供了指数式化对数式，对数式化指数式的方法。请将bp=M化成对数式。

生：bp=M化为对数式是logbM=p。

师：请将logca=q化为指数式。

生：logca=q化为指数式是cq=a。

师；什么是指数函数？它有哪些性质？

（生回答指数函数定义及性质）

师：请大家回忆如何求一个函数的反函数？

生：（1）先求原来函数的定义域和值域；（2）把函数式y=f（x）

看作为以x为未知数的方程，从中解出x=φ（y），且对每个y，只有一个x与之对应，此反函数可记作x=f-1（y）；（3）把x=f-1（y）改写成y=f-1（x），并写出反函数的定义域。

师：好。为什么求一个函数的反函数时，要先求出这个函数的定义域和值域呢？

1

生：求原来函数的定义域是为了求原来函数的值域，而原来函数的值域就是其反函数的定义域．

师：很好．原来函数的定义域和值域，就是其反函数的值域和定义域．根x据前面复习的求反函数的方法，请同学们求函数y=a（a＞0且a≠1）的反函数。

x生：函数y=a（a＞0且a≠1）的定义域x∈R，值域y∈（0，+∞）。将指数式y=a化为对数式x=logay，所以函数y=a（a＞0且a≠1）的反函数为y=logax（x＞0）。

师：今天这节课我们介绍一下新的函数——对数函数，它是指数函数的反函数。（板书：课题：对数函数）

二、新课讲授

1．定义

函数y=ax（a＞0且a≠1）叫做对数函数。

因为对数函数y=logax是指数函数y=ax的反函数，所以要说明以下两点：

（1）对于底数a，同样必须满足a＞0且a≠1的条件。

（2）指数函数的定义域为R，值域为R+。根据反函数性质可知：对数函数的定义域为R+，值域为R。

2．图象

同指数函数一样，在学习了函数定义之后，我们要画函数的图象。那么应该如何画对数函数的图象呢？

生：用描点法画图．

师：对。我们每学习一种新的函数都可以根据函数的解析式，列表、描点画图。再考虑一下，我们还可以用什么方法画出对数函数的图象呢？

生：因为对数函数是指数函数的反函数，所以它们的图象关于直线y=x对称。因此，只要画出指数函数的图象，就可利用图象的对称性画出对数函数的图象。

师：非常好。我们画对数函数图象，即可用描点法，也可用图象变换法。下边我们就利用这两种方法画对数函数图象。

例题

在同一坐标系内画出y=log2x，ylgx，ylg1x的图象。

2xx方法一

（描点法）

首先列出x，y值的对应表．因为对数函数的定义域为x＞0，因此可取x=1，2，3，4，…，请计算对应的y值．

生：y=log21=0，y=log22=1，y=log23=1.59，y=log24=2．

师：我们在分析对数函数值域时知y∈R．由上面所说的x值计算

111出的y≥0，所以可再取x=,,。请同学们把表列出。

842

2

生：对数函数的图象都在y轴右侧，说明x＞0。

生：函数图象都过（1，0）点，说明x=1时，y=0。

师：对。这从直观上体现了对数式的真数大于0且1的对数是0的事实。请继续分析。

生：当底数是2和10时，若x＞1，则y＞0，若x＜1，则y＜0。

当底数是2和10时，若x＞1，则y＜0；若x＜1，则y＞0。

师：对。由此可归纳得到：当底数a＞1时，若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0。反之亦然。当底数0＜a＜1时，看x＞1，则y＜0；若0＜x＜1，则y＞0。反之亦然。这体现了真数的取值范围与对数的正负性之间的紧密联系．再继续分析。

生：当底数a＞1时，对数函数在（0，+∞）上递增；当底数0＜a＜1时，对数函数在（0，+∞）上递减．

师：好。下边我们看一下指数函数与对数函数性质对照表。

名

称

指

数

函

数

对

数

函

数

解析式

y=ax（a＞0，a≠1）

y=logax（a＞0，a≠1）

定义域

（-∞，+∞）

（0，+∞）

值

域

（0，+∞）

（-∞，+∞）

当a＞1时，

当a＞1时，

函数值

变化情况

当0＜a＜1时，

当0＜a＜1时，

当a＞1时，a是增函数；

当a＞1时，logax是增函数；

单调性

当0＜a＜1时，ax是减函数

当0＜a＜1时，logax是减函数．

图象

y=ax的图象与y=logax的图象关于直线y=x对称

x

4

师：今天我们所要讲的有关概念就讲完了，现在我们通过例题进一步巩固理解这些概念．

3．例题分析

例1

求下列函数的定义域：

（1）y=logax2；（2）y=loga（4-x）；（3）log0.53x1.

生：（1）因为x2＞0，所以x≠0，即y=logax2的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）。

生：（2）因为4-x＞0，所以x＜4，即y=loga（4-x）的定义域是（-∞，4）。

3x10,.........

生：（3）因为

log0.53x10,师：在这个函数的解析式中，不仅有对数式，还有二次根式，因此要求定义域，既要真数大于0，还要被开方数大于或等于0，从而得到不等式组，这个不等式组如何解，问题出在log0.5（3x-1）≥0上，怎么办？

生：把0看作log0.51，即log0.5（3x-1）≥log0.51，因为0＜0.5＜1，所以此函数是减函数，所以3x-1≤1．

师：对．他是利用了对数函数的单调性．还有别的说法吗？

生：因为底数0＜0.5＜1，而log0.5（3x-1）≥0，所以3x-1≤1．

师：对．他是利用了对数函数的第三条性质，根据函数值的范围，判断了真数的范围，因此只要解0＜3x-1≤1，即可得出函数定义域。

11生：函数ylog0.53x1的定义域为,。

32例2

比较下列各组中两个数的大小：

（1）log23和log23.5；（2）log0.71.6和log0.71.8．

师：请同学们观察这两组数中两个数的特征，想一想应如何比较这两个数的大小．

生：这两组数都是对数．每组中的对数式的底数相同，而真数不同，因此可根据函数y=log2x是增函数的性质来比较它们的大小。

师：对。针对（1）中两个数的底数都是2，我们构造函数y=log2x，利用这个函数在（0，+∞）是单调递增的，通过比较真数的大小来决定对数的大小．请一名同学写出解题过程。

生：（板书）

解：因为函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，又因0＜3＜3.5，所以log23＜log23.5．

师：好．请同学简答（2）中两个数的比较过程．并说明理由．

生：因为函数y=log0.7x在（0，+∞）上是减函数，又因0＜1.6＜1.8，所以log0.71.6＞log0.71.8．

5

师：对．上述方法仍是采用“函数法”比较两个数的大小．当两个对数式的底数相同时，我们构造对数函数．对于a＞1的对数函数在定义域内是增函数；对于0＜a＜1的对数函数在定义域内是减函数．只要比较真数的大小，即可得到函数值的大小．

例3

比较下列各组中两个数的大小：

（1）log0.34和log0.20.7；（2）log23和log32．

师：这两组数都是对数，但它们的底数与真数都不相同，不便于利用对数函数的单调性比较它们的大小．请大家仔细观察各组中两个数的特点，判断出它们的大小．

生：在log0.34中，因为底数0＜0.3＜1，且4＞1，所以log0.34＜0；在log0.20.7中，因为0＜0.2＜1，且0.7＜1，所以log0.20.7＞0，故log0.34＜log0.20.7．

师：很好．根据对数函数性质，当底数0＜a＜1时，若x＞1，则y＜0；若0＜x＜1，则y＞0．由此可以判定这两个数中，一个比零大，另一个比零小，从而比较出两个数的大小，这是采用了“中间量法”．请比较第（2）组两个数的大小．

生：在log23中，底数2＞1，真数3＞1，所以log23＞0；在log32中，底数3＞1，真数2＞1，所以log32＞0，…

师：根据对数性质可判断：log23和log32都比零大．怎么办？

生：因为log23＞1，log32＜1，所以log23＞log32．

师：很好．这是根据对数函数的单调性得到的，事实上，log23＞log22=1，log32＜log33=1，这里利用了底数的对数为1，即log22=log33=1，从而判断出一个数大于1，而另一个数小于1，由此比较出两个数的大小．

4．巩固练习

练习1

求下列函数的反函数：

（1）y=3x（x∈R）；（2）y=0.7x（x∈R）；

（3）y=log5x（x＞0）；（4）y=log0.6x（x＞0）。

生：y=3x（x∈R）的反函数是y=log3x（x＞0）。

生：y=0.7x（x∈R）的反函数是y=log0.7x（x＞0）。

生：y=log5x（x＞0）的反函数是y=5x（x∈R）。

生：y=log0.6x（x＞0）的反函数是y=0.6x（x∈R）。

练习2

指出下列各对数中，哪个大于零？哪个小于零？哪个等于零？并简述理由．

log50.1,log27,log21,log0.60.1,log0.43

生：在log50.1中，因为5＞1，0.1＜1，所以log50.1＜0．

生：在log27中，因为2＞1，7＞1，所以log27＞0。

生：在log21中，因为真数为1，所以log21=0。

生：在log0.60.1中，因为0.6＜1，0.1＜1，所以log0.60.1＞0。

生：在log0.43中，因为0.4＜1，3＞1，所以log0.43＜0。

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练习3

用“＜”号连接下列各数：

0.32， log20.3， 20.3．

生：由指数函数性质可知0＜0.32＜1，20.3＞1，由对数函数性质可知log20.3＜0，所以log20.3＜0.32＜20.3。

三、课时小结(由学生先总结，然后老师运用幻灯片给出) 师：现在我们将这节课的内容小结一下，本节课我们介绍了对数函数的定义、图象及性质，请同学回答对数函数的定义及性质。

生：（复述）……

师：对数函数的定义，我们是通过求指数函数的反函数而得到的，从而揭示了指数函数与对数函数之间的内在联系，对于对数函数的图象及性质，都可以利用指数函数的图象及性质得到．对于对数函数的性质，可以利用对数函数图象记忆，也可以对照指数函数的性质记忆。

对于函数的定义域，除了原来要求的分母不能为0及偶次根式中被开方式大于或等于0以外，还应要求对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1．如果函数中同时出现几种情况，就要全部考虑进去，求它们共同作用的结果．

例3、例4都是利用对数函数的性质，通过“函数法”和“中间量法”比较两个数大小的典型例子．

四、课堂作业：课本P94练习第1，2，3题．

师：作业题1是作图题，画法有两种，可任选其中一种画法．然后由所画出的五个函数图象进行对比分析，思考两个或两个以上对数函数图象的特征，下节课我们共同讨论．

答案：

（1）底数是互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。

（2）当底数a＞1时，底数越大的越接近x轴；当底数0＜a＜1时，底数越小的越接近x轴。

五、补充题

1．求下列函数的定义域：

1ylog0.2x2x6;2ylog23x5;3ylogx1x1.

22．比较下列各题中两个数值的大小：

（1）log30.7和log0.20.5；

（2）log0.64和log7.11.2；

（3）log0.50.6和log0.60.5；

（4）log25和log34．

答案：1．（1）（-∞，-2）∪（3，+∞）；（2）[2，+∞）； （3）（-1，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．

2．（1）＜；（2）＜；（3）＜，提示：两个数与1比较；（4）＞，提示：两个数与2比较。

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六、课堂教学设计说明

1．本节新课的开始是由求指数函数的反函数引入对数函数的，因此在讲授对数函数的定义、图象及性质时，要处处与指数函数对照着讲解，既可揭示指数函数与对数函数之间的内在联系．又可以旧带新，便于学生记忆掌握．

2．课本是根据互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称的性

1质，由指数函数y2x,y10x,y的图象，画出它们的反函数图象——2对数函数出y=log2x，y=lgx，ylog1x的图象。

2x用这种对称变换的方法画函数图象，可以加深和巩固学生对互为反函数的两个函数之间的关系的认识，便于将对数函数的图象和性质与指数函数的图象和性质对照．但使用描点法画函数图象更为方便．两种画法可同时进行．分析画法之后，可以让学生自由选择画法，也可以安排某几行同学用描点法，另外几行同学用图象的对称变换画图．在黑板上让两名学生同时各用一种方法画出图象，或让学生用投影片用不同的方法画出图来，在投影仪上展示给大家看．总之，根据时间，能够把两种画法展示给学生更好．

3．为了加大课堂密度，提高40分钟课堂效率，可采用投影仪或电脑等现代化教学手段，充分利用时间，但不能用它代替学生的思维过程，要让学生有动脑、动口、动手的机会，突出学生参与过程．

4．要了解自己学生的程度，根据不同层次的教学对象制定教学方案，选择不同程度的例题和习题，注意不要让学生吃不饱，也不要太撑，要适量．

七、板书设计

课题：对数函数

1．对数函数的定义

4.例题分析

2．图象

5.巩固练习

3．性质（略）

6 .课时小结

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