复习参考题教学目标

基本初等函数

一．课标要求

1．指数函数

（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；

（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；

（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。

2．对数函数

（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；

（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；

3．知道指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数（a＞0，a≠1）。

二．命题走向

指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。

预测2007年对本节的考察是：

1．题型有两个选择题和一个解答题；

2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。

三．要点精讲

1．指数与对数运算

（1）根式的概念：

①定义：若一个数的n次方等于a(n1,且nN)，则这个数称a的n次方根。即若xna，则x称a的n次方根n1且nN)，

1）当n为奇数时，a的n次方根记作na；

2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作na(a0)。

②性质：1）(na)na；2）当n为奇数时，nana；

3）当n为偶数时，na|a|（2）．幂的有关概念

①规定：1）anaaa(nN*；2）a01(a0)；

n个

3）apa(a0)。

a(a0)1p(pQ，4）annam(a0,m、nN* 且n1)。

am②性质：1）arasars(a0,r、sQ）；

2）(ar)sars(a0,r、s Q）；

3）(ab)rarbr(a0,b0,r Q）。

（注）上述性质对r、sR均适用。

（3）．对数的概念

①定义：如果a(a0,且a1)的b次幂等于N，就是abN，那么数b称以a为底N的对数，记作logaNb,其中a称对数的底，N称真数。

1）以10为底的对数称常用对数，log10N记作lgN；

)为底的对数称自然对数，logeN，记作lnN；

2）以无理数e(e2.71828②基本性质：

1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）loga10；

3）logaa1；4）对数恒等式：alogaNN。

③运算性质：如果a0,a0,M0,N0,则

1）loga(MN)logaMlogaN；

2）logaMlogaMlogaN；

N3）logaMnnlogaM(nR）。

④换底公式：logaNlogmN(a0,a0,m0,m1,N0),

logmanlogab。

m1）logablogba1；2）logambn2．指数函数与对数函数

（1）指数函数：

①定义：函数yax(a0,且a1)称指数函数，

1）函数的定义域为R；2）函数的值域为(0,)；

3）当0a1时函数为减函数，当a1时函数为增函数。

②函数图像：

1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；

2）指数函数都以x轴为渐近线（当0a1时，图象向左无限接近x轴，当a1时，图象向右无限接近x轴）；

3）对于相同的a(a0,且a1)，函数yax与yax的图象关于y轴对称。

③函数值的变化特征：

（2）对数函数：

①定义：函数ylogax(a0,且a1)称对数函数，

1）函数的定义域为(0,)；2）函数的值域为R；

3）当0a1时函数为减函数，当a1时函数为增函数；

4）对数函数ylogax与指数函数yax(a0,且a1)互为反函数。

②函数图像：

0a1

①x0时0y1，

②x0时y1，

③x0时y1

a1

①x0时y1，

②x0时y1，

③x0时0y1，

1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；

2）对数函数都以y轴为渐近线（当0a1时，图象向上无限接近y轴；当a1时，图象向下无限接近y轴）；

4）对于相同的a(a0,且a1)，函数ylogax与ylog1x的图象关于x轴对a称。

③函数值的变化特征：

四．典例解析

五．思维总结

1．nNa,abN,logaNb（其中N0,a0,a1）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；

2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；

3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；

①x1时y0，

②x1时y0，

①x1时y0，

②x1时y0，

③x0时0y1. 0a1

a1

时y0. ③0x1

4．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；

5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类；

6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力。