信息技术应用 收集数据并建立函数模型教案1

函数模型的应用

[教学目标] 1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．

2．通过收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用．

[教学要求] 对于函数增长的比较，教科书分了三个层次：首先以实例为载体让学生切实感受不同函数模型间的增长差异，然后采用图、表两种方法比较三个函数（yx2，y2x，ylog2x）的增长差异，最后将结论推广到一般的指数函数、对数函数、幂函数间的增长差异．

函数基本模型的应用是本章的重点内容之一．教科书用4个例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习．在4个例题中，分别介绍了分段函数、指数型函数、二次函数的应用．在例4和例6中还渗透了函数拟合的基本思想．

本章安排的实习作业主要是让学生收集现实生活中的一些函数实例，并运用已学习的函数知识解决一些问题，感受函数的广泛应用．

课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．这是因为函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题．同时，这样做还能给学生提供更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，并体会数学在实际问题中的应用价值．

[教学重点] 认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长，应用函数模型解决简单问题．

将实际问题转化为数学模型．

[教学难点] 学生对指数函数、对数函数、幂函数等的增长速度的认识还很少，因此让学生比较这几种函数的增长差异会有一定困难．如何选择适当的函数模型分析和解决实际问题是另一个困难．

[教学时数] 4课时

[教学过程] 第一课时

3.2.1几类不同增长的函数模型（1）

新课进展

一、实例分析

投资回报和选择奖励模型两个实例，让学生对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．（底数a0）

例1（课本第95页例1）

分析与解：课本第95——96页．

关键：阅读、理解、审题

重点：让学生体会指数爆炸

问：在例1中，涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？

根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？

你能借助计算器做出函数图象，并通过图象描述一下三个方案的特点吗？

由以上的分析，你认为应当如何做出选择？

例2（课本第97页例2）

本例将三个函数增长模型同时呈现给学生，主要目的是让学生感受它们增长速度的差异．教学时，除了用函数的图象直观展示这种增长差异外，还可以通过以下的表格让学生从另一个角度去认识．

问：例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？

你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？

通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例2的解答吗？

本课小结

通过师生交流进行小结：

确定函数的模型——利用数据表格、函数图象讨论模型——体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．

第二课时

3.2.1几类不同增长的函数模型（2）

新课进展

二、三类函数增长差异的比较

1．通过图、表比较yx2，y2x两个函数的增长速度．

2．探究yx2，ylog2x两个函数的增长速度．

3．说说函数y2x，yx2，ylog2x的增长差异．

x2在区间(0,)上，总有x2log2x；当x4时，总有2x．

所以当x4时，总有2xx2log2x．

4．一般的，在区间(0,)上，尽管函数ya(a1)，ylogax(a1)和xyxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个‘档次’上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当xx0时，就有logaxxnax．

1x探究（课本101页）：y(),yx2,ylog1x的衰减情况．

221通过观察获得这三个具体的函数的衰减情况，然后得出结论并推广到一般情况：存在一个x0，当xx0时，xnaxlogax(n0,0a1)．

第三课时

3.2.2函数模型的应用实例（1）

复习导入

问：对幂函数、指数函数、对数函数，你是否注意到函数变化的速度有什么不同？

结合上节课学习内容或者课本进行回答．

新课进展

一、例题及分析

例3（课本第102页例3）

本例所涉及的数学模型是确定的，需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型．此题的主要意图是让学生用函数模型（分段函数）刻画实际问题．

,0t150t200480(t1)2054,1t2,2t3（1）获得路程关于时间变化的函数解析式：s90(t2)2134

75(t3)2224,3t4,4t5.65(t4)2299（2）根据解析式画出汽车行驶路程关于时间变化的图象．

例4（课本第103页例4）

本例中，数学模型yy0en是指数型函数模型，它由y0与r两个参数决定，而y0与r的值不难得到．本题意在让学生验证问题中的数据与所提供的数学模型是否吻合，并用数学模型解释实际问题，并利用模型进行预测，这也是此题的难点．借助计算器做出函数图象，比较与实际的吻合度．

课堂练习

课本第98页练习第1、2题．

布置作业

课本第107页习题3.2A组第1、2、3题

第四课时

3.2.2函数模型的应用举例（2）

新课进展

一、例题及分析续

例5（课本第104页例5）

课本第104页表3-9中数据的变化是有特定规律的，教学时应注意引导学生分析问题所提供的数据特点，由数据特点抽象出函数模型．同时，应注意变量的变化范围，并以此检验结果的合理性．

例6（课本第105页例6）只给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的．

思考：散点图与已知的哪个函数图象最接近，从而选择这个函数模型．

课堂练习

课本第106页练习第1、2题．

二、例题的回顾与总结

4个例题各有特点，例3、5是一类变量之间具有确定关系的问题，根据这个关系就可以建立函数模型解决问题；与例2、5不同的是，例4、6都是需要判断所选择的函数模型与问题所给数据的吻合程度，像例6用“当取表中不同的两组数据时，得到的函数解析式可能会不一样”这句话体现了这点不同；例4、6略有不同的是例4给出了函数模型，例6需要自己根据数据特点选择函数模型，这反映了一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，要让学生逐渐明确和感受这一点．

例7 教师用书第107页第4题

布置作业

课本第107页习题3.2A组第4、5、6题．