小结课件配套优秀

2.3函数的奇偶性

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一、考纲点击

1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；

2、会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性; 3、了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性。

二、热点难点提示

1、函数的奇偶性及简单函数的周期性是考查热点；

2、函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数数值及求参数值等问题是重点，也是难点；

3、题型以选择题和填空题为主，还可与其他知识点交汇命题。

【考纲知识梳理】

一、函数的奇偶性

奇偶性

偶函数

定义

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数。

奇函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数。

注：1、奇偶函数的定义域的特点：由于定义中对任意一个x都有一个关于原点对称的-x在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称；

2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。

二、奇偶函数的性质

1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填

“相同”、“

相反”）。

2、在公共定义域内，

关于原点对称

图象特点

关于y轴对称

亦即：

（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；

（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；

（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。

注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题需先证明再利用。

3、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义，则f(0)=0. 4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；

5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；

6、可逆性：

f(x)f(x)

f(x)是偶函数；

f(x)f(x)f(x)奇函数；

7、等价性：f(x)f(x)f(x)f(x)0

f(x)f(x)f(x)f(x)0

8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；

9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

三、周期性

1、周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数，T为这个函数的周期。

2、最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期。

【要点名师透析】

一、函数奇偶性的判定

1、相关链接

<1>利用定义判断函数奇偶性的一般步骤

，即：

（1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。

（2）若定义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系

①若f(-x)=-f(x)（或f(-x) +f(x)=0），则为奇函数；

②若f(-x)=f(x)(或

f(-x) -f(x)=0)，则f(x)为偶函数；

③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数; ④若f(-x) ≠f(x)且f(-x)≠- f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。

<2>一些重要类型的奇偶函数

（1）

函数f(x)=ax+a-x为偶函数;

函数f(x)=ax-a-x为奇函数；

（2）

函数f(x)=( ax-a-x)/( ax+a-x)=( ax-1)/( ax+1)其中（a>0且a≠1）为奇函数；

（3）

函数f(x)=loga(1x)为奇函数（a>0且a≠1）; 1x（4）

函数f(x)= loga(xx21)为奇函数（a>0且a≠1）