习题3.1第二课时教学设计

专题二、函数概念与基本初等函数

第8讲、函数与方程、函数的应用

一、考纲解读：

1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 二、考点解频：零点的应用5分

三、知

识

梳

理

1.函数的零点

(1)函数零点的概念：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. (3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)满足：①在区间上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根. 2.二次函数y＝ax＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

Δ＝b－4ac 二次函数

22Δ>0

Δ＝0

Δ<0 y＝ax2＋bx＋c

(a>0)的图象

与x轴的交点

零点个数

3.常见的几种函数模型

(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0). (2)反比例函数模型：y＝(k≠0).

(3)二次函数模型：y＝ax＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0). (4)指数函数模型：y＝a·b＋c(b>0，b≠1，a≠0). (5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0). 4.指数、对数、幂函数模型性质比较

函数

性质

在(0，＋∞)

x2

(x1，0)，(x2，0)

2

(x1，0)

1

无交点

0

kxy＝ax(a>1)

单调递增

y＝logax(a>1)

单调递增

y＝xn(n>0) 单调递增

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上的增减性

增长速度

图象的变化

值的比较

四、例题及变式

考点一、函数零点所在区间的判断

例1、(1)若a

) A.(a，b)和(b，c)内 B.(－∞，a)和(a，b)内

C.(b，c)和(c，＋∞)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内

(2)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为(

) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 越来越快

随x的增大逐渐表现为与y轴平行

越来越慢

随x的增大逐渐表现为与x轴平行

n相对平稳

随n值变化

而各有不同

x存在一个x0，当x>x0时，有logax

1变式1、已知函数f(x)＝ln x－2考点二、函数零点个数的判断

x－2的零点为x0，则x0所在的区间是(

) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) x－2，x≤0，例2、 (1)函数f(x)＝的零点个数是________. 2x－6＋ln x，x>02(2)函数f(x)＝2|log0.5x|－1的零点个数为(

) A.1 B.2 C.3 D.4 xπ2变式2、

(2015·湖北卷)f(x)＝2sin xsinx＋－x的零点个数为________. 2考点三、函数零点的应用

例3、已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围. e＋a，x≤0，变式3、(1)、已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则3x－1，x>0xa的取值范围是(

) A.(－∞，－1) C.(－1，0) 2

xB.(－∞，0) D.上有且只有一个零点.(

) (4)f(x)＝x，g(x)＝2，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)

) 2、函数f(x)＝e＋3x的零点个数是(

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x

3、下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(

) A.y＝cos x B.y＝sin xC.y＝ln x D.y＝x＋1 4、已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到(

) A.100只 B.200只 C.300只 D.400只

5、函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________. 七、课后作业:选做AB组或BC组

A组：

1、函数f(x)＝3－x的零点所在区间是(

) A.(0，1) B.(1，2)C.(－2，－1) D.(－1，0) 2－1，x≤1，2、已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(

) 1＋log2x，x>1，xx2211A.，0 B.－2，0 C. D.0 222x3、函数f(x)＝2－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(

) xA.(1，3) B.(1，2)C.(0，3) D.(0，2) B组：

4、设函数f(x)＝x＋3x＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)，x∈R，则实数322a＝________，b＝________. 5、某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一1次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg 2≈0.301 0，lg 33≈0.477 1). 6、在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________. C组；

已知二次函数f(x)＝x＋(2a－1)x＋1－2a，

(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；

21(2)若y＝f(x)在区间(－1，0)及0，内各有一个零点，求实数a的取值范围. 2高考资源网版权所有，侵权必究！

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