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复习课

基本初等函数(Ⅰ)

指数式与对数式的运算

1．题型为选择题或填空题，主要考查对数式和指数式的直接运算，利用换底公式进行运算，通过运算的转化进行大小比较等．

2．分数指数幂

(1)amnn＝am(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．

mn(2)a－＝1amn＝1nam(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．

3．对数的运算性质

已知a＞0，b＞0，a≠1，M＞0，N＞0，m≠0. (1)logaM＋logaN＝loga(MN)．

M(2)logaM－logaN＝loga. Nn(3)logambn＝mlogab. 1－15[典题示例]

(1)lg＋2lg 2－2



＝______. 2(2)若a＝log43，则2a＋2a＝________. －1－15解析：(1)lg＋2lg 2－2



＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2 2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 1(2)∵a＝log43＝log23＝log23，

2

∴2＋2＝2a－alog23＋2－log23＝3＋2log233＝3＋343＝. 3343[答案]

(1)－1

(2)

3

[类题通法]

指数、对数的运算应遵循的原则

(1)指数式的运算：

①注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算．

②若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．

(2)对数式的运算：

①注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价．

②熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．

[题组训练]

2731．计算：8＋log2(log216)＝________. 23×283解析：原式＝＋log4＝＋2＝. 23331118答案：

32．412log210－(33)－7log21023log72＝________. log72解析：原式＝2答案：5 －(3)－73223＝10－3－2＝5. 83．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为________．

388188解析：由2x＝3，log4＝y得x＝log23，y＝log4＝log2，所以x＋2y＝log23＋log2＝33233log28＝3. 答案：3 指数函数、对数函数、幂函数的图象问题

1．题型为选择题或填空题，主要考查识别指数函数、对数函数、幂函数的图象，利用图象解决一些数学问题．

2．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1，

x＞0)的图象恒过定点(1,0)．

[典题示例]

如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(

) A．{x|－1

[解析]

令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图．

x＋y＝2，由

y＝log2x＋1，x＝1，得

y＝1.B．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1

∴结合图象知不等式f (x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1

[答案]

C [类题通法]

(1)识别函数的图象从以下几个方面入手：①单调性：函数图象的变化趋势；②奇偶性：函数图象的对称性；③特殊点对应的函数值．

(2)已知不能解出的方程或不等式的解求参数的范围常用数形结合的思想解决．

[题组训练]

1．已知a＞1，b＜－1，则函数y＝loga(x－b)的图象不经过(

) A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

解析：选D

∵a＞1，∴函数y＝loga(x－b)(b＜－1)的图象就是把函数y＝logax的图象向左平移|b|个单位长度，如图．由图可知函数y＝loga(x－b)不经过第四象限，所以选D. 2．对a＞0且a≠1的所有正实数，函数y＝ax1－2的图象一定经过一定点，则该定点＋的坐标是________．

解析：当x＝－1时，y＝a0－2＝－1，所以该定点的坐标是(－1，－1)．

答案：(－1，－1) 3．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是________(填序号)．

1解析：因为lg a＋lg b＝lg(ab)＝0，所以ab＝1，即b＝，则f(x)＝ax，g(x)＝logax.当aa＞1时，在各自的定义域内，f(x)是增函数，g(x)是增函数，所以②正确；0＜a＜1时，在各自的定义域内，f(x)是减函数，g(x)是减函数，所以①③④都不正确．

答案：②

指数函数、对数函数、幂函数的性质及应用

1．题型为选择题和填空题，主要以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．

2．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)具有相同的单调性．指数函数的值域和对数函数的定义域都为正数，而指数函数的定义域和对数函数值域为R. [典题示例]

(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(

) A．f(x)在(0,2)单调递增

B．f(x)在(0,2)单调递减

C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称

D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称

(2)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________. [解析]

(1)由题易知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0,2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，所以排除A、B；

112－1＝ln3，

又f＝ln＋ln2224332－3＝ln3，

f＝ln＋ln2224133所以f＝f＝ln，所以排除D.故选C. 224a1＋b＝－1，(2)当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得0无a＋b＝0－

1a＋b＝0，x解．当0

1a＝2，3所以a＋b＝－. 2b＝－2，

3[答案]

(1)C

(2)－

2

[类题通法]

解决此类问题要熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质．方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根；比较大小问题可直接利用单调性和中间值解决．

[题组训练]

1．已知f(x)＝3xb(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为(

) －A．[9,81]

C．[1,9]

B．[3,9]

D．[1，＋∞) －2解析：选C

由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因为f(x)＝3x＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9，所以f(x)的值域为[1,9]．

在[2,4]上是增函数，f(x)minlog2x，x＞0，12．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(

) 

log2－x，

x＜0，A．(－1,0)∪(0,1)

C．(－1,0)∪(1，＋∞)

B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)

解析：选C

若a＞0，则由f(a)＞f(－a)得

log2a＞loga＝－log2a，即log2a＞0.∴a＞1. 若a＜0，则由f(a)＞f(－a)得

log

(－a)＞log2(－a)，

即－log2(－a)＞log2(－a)，

∴log2(－a)＜0，∴0＜－a＜1，即－1＜a＜0. 综上可知，－1＜a＜0或a＞1. 3．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·x上是减函数，则n的值为(

)

A．－3

C．2

B．1 D．1或2 n2－3n1212

(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)解析：选B

由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3.当n＝1时，1－f(x)＝x2＝2关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数；当n＝－3时，f(x)＝x18在(0，＋x

∞)上是增函数．故n＝1符合题意，应选B. a1－x的定义域是(1，＋∞)，则实数a的值为________．

4．已知函数f(x)＝ln2aa解析：由题意得，不等式1－x＞0的解集是(1，＋∞)，由1－x＞0，可得2x＞a，故x22＞log2a，由log2a＝1得a＝2. 答案：2

1．集合M＝{x|lg x＜0}，N＝{y|y＝2x－1}，则M∩N等于(

) A．(－1,1)

C．(－1,0)

B．(0,1) D．(－∞，1) 解析：选B

∵lg x＜0，∴0＜x＜1，

∴M＝(0,1)，N＝(－1，＋∞)，

∴M∩N＝(0,1)．

2．函数f(x)＝ax1(a＞0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是(

) －A．y＝1－x

C．y＝2x－1

－B．y＝|x－2| D．y＝log2(2x) 解析：选A

f(x)＝ax1(a＞0，a≠1)的图象恒过点(1,1)，结合各选项知点(1,1)不在y＝1－x的图象上．

3．已知a＝3，b＝logA．a＞b＞c

C．c＞b＞a

121311，c＝log2，则(

) 23B．b＞c＞a

D．b＞a＞c

111解析：选A

a＝3＞1,0＜b＝log＝log32＜1，c＝log2＝－log23＜0，故a＞b＞c，323故选A. 4．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是(

)

1x－1－解析：选C

函数y＝log2x的反函数为y＝2x，故f(x)＝2x，于是f(1－x)＝21x＝2，此函数在R上为减函数，其图象过点(0,2)，所以选项C中的图象符合要求．

5．若f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值是(

)

1A.

4C．2

1B.

2D．4 解析：选B

当a＞1时，f(x)max＝f(1)＝a＋loga2，f(x)min＝f(0)＝a0＋loga1＝1，所以a1＋loga2＋1＝a，所以a＝，不合题意，舍去；当0＜a＜1时，f(x)max＝f(0)＝a0＋loga1＝1，21f(x)min＝f(1)＝a＋loga2，所以a＋loga2＋1＝a，所以a＝，故选B. 216．函数f(x)＝[(1＋2x)－|1－2x|]的图象大致为(

) 2

2x，2x＜1，2x，x＜0，1xx解析：选A

法一：f(x)＝[(1＋2)－|1－2|]＝即f(x)＝

x21，2＞1，1，x＞0，

从而判断选项A正确．

11113111＋－1－法二：取特值f(－1)＝＝－＝，从而排除选项B、C、D. 222222217．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f2的值等于________．

解析：设f(x)＝xa，∵f(4)＝3f(2)，

∴4a＝3×2a，

11log231解得a＝log23，∴f＝. 2＝231答案：

38．已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则f(－2)________f(a＋1)．(填“＜”“＝”“＞”) 解析：当x∈(0，＋∞)时，显然有f(x)＝loga|x|＝logax，由此时函数单调递增可知a＞1.又易知f(x)为偶函数，因此f(a＋1)＞f(1＋1)＝f(2)＝f(－2)，因此应填“＜”．

答案：＜

fx，x≥0，19．已知函数f(x)＝2x－x，函数g(x)＝则函数g(x)的最小值是________．

2f－x，x＜0，

1解析：当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－x为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x＜0时，2g(x)＝f(－x)＝2x－－1－为单调减函数，所以g(x)＞g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0. 2x答案：0

12lg －lg 25÷10．化简：(1)100；

412a3·b2·a2·b3(2). 6a·b5解：(1)原式＝－2×11－－1－1－11lg 2＋lg 51＝－2×lg 10÷＝－20. 110100－211111326151632a－3

b2·a2

b3(2)原式＝15＝a·ba6

b61＝. a1x11．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2.

(1)画出函数f(x)的图象；

(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．

1x解：(1)先作出当x≥0时，f(x)＝2的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．

(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．

3x112．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝x－，

9＋12(1)判断并证明y＝f(x)在(－∞，0)上的单调性；

(2)求y＝f(x)的值域．

解：(1)设x1＜x2＜0，则0＜3x1＜3 x2＜1,3 x1＋x2＜1. 3 x1＋2 x2＋3 x1－32 x1＋x2－3 x23 x1－3 x21－3 x1＋x23 x13 x2∵f(x1)－f(x2)＝ x－＝＝91＋19 x2＋19 x1＋19 x2＋19 x1＋19 x2＋1＜0，

∴f(x1)＜f(x2)，即y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数．

(2)∵函数f(x)在(－∞，0)上是增函数且连续，

301∴f(x)≤f(0)＝0－＝0. 9＋1213x11－，0.而函数f(x)为奇函数，又f(x)＞－，∴当x≤0时，f(x)＝x－的值域为229＋1210，. 由对称性可知，函数y＝f(x)在(0，＋∞)上的值域为211－，. 综上可得，y＝f(x)的值域为22