小结教学设计及课堂实录

《函数图象的对称性》教学设计

揭阳市空港区渔湖中学

黄玲

一、教学内容分析

本节内容是高中数学函数的性质之一：函数图象的对称性。图象是函数一个特别重要的部分，有了图象，我们可以运用数形结合思想解决很多函数问题。有些函数，不仅图象有着优美的对称性，同时又有着优美的对称关系式。虽然本节课内容在教材中并没有明确的章节安排，但是对利用函数图像研究函数的性质有不可忽略的作用。并且对学生程序性知识的学习有较好的训练作用，对学生自身知识的再整理和再建构具有一定的代表性。

可见研究对称性对于解决函数和函数图象问题是非常必要的。

本节课是在学生学习了函数奇偶性之后进行的，其主要内容是借助图象中的轴对称、中心对称特点，由奇偶性探索出函数的对称关系式。

本节课的线索有两条，一条是由数轴中特殊点的对称点，以及偶函数图象上对称点的关系式探索出任意对称点的关系式，进而得到轴对称图形的关系式；另一条线索是从探索轴对称图形关系式的方法类比得到中心对称图形的关系式。

可以看出，本节课着重强调了两个数学思想：从特殊到一般、类比。

特殊到一般：首先运用中点公式，得到特殊点的对称点，进而根据奇偶性，得到直角坐标系中对称点的函数值之间的关系式，最后探索出任意对称点的关系式

类比：借助探索轴对称关系式的方法，类比得到中心对称关系式。

二、学情分析

本节课是在学生复习了函数奇偶性之后进行的，学生对“对称性”有了简单的认识和理

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解。能够掌握关于y轴对称和原点对称的函数，但是缺乏深入的研究，抽象思维能力弱，对题目隐含的“对称性”条件不能正确理解、区分、应用，将符号化的语言向描述性语言转化能力较差。基于以上分析制定了本节的教学目标：

三、教学目标

三维目标设计：

（1）教学重点：掌握轴对称函数和中心对称函数从图形和抽象关系式两方面的表示并应用

（2）教学难点：描述性语言和符号语言之间的转化

目标分析：

（1）创设一个学生熟悉的偶函数的对称问题情境，让学生在观察和探究的过程中，体会到发现问题到设计方案再到解决问题的过程；

（2）通过知识的层层递推，由易到难，最后由学生自己归纳得出对称式

（3）由探究轴对称式的方法类比得到中心对称式

四、教学资源

为了让学生较为直观地体会函数图像的对称，利用信息技术工具，利用《几何画板》使相关点呈现动态过程，更直观，更容易理解。从而培养学生将实际问题转化成数学问题，用数学语言将其描述。

五、教学过程设计

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（一）复习旧知，引入课题

1、已知x轴上两点A(a,0),B(1,0)，则点B关于点A的对称点的坐标为______ 2、如图为一偶函数的图象，对于该图象，我们分别从“形”和“数”两方面分析：

①从“形”的角度看，yf(x)的图象关于直线__x0________对称

②从“数”的角度，发现f(1)__f(1)__，f(2)___f(2)___....f(x)__f(x)____

【小结1】图象对称轴为___x0______时，有___f(x)f(x)_______

【设计意图】

从旧知引入，增强学生熟知程度，提高学习新知的兴趣

（二）共同探究，分析问题

一、轴对称性

1、将以上图形向右平移两个单位，依然从“形”和“数”两方面分析：

①从“形”的角度看，yf(x)的图象关于直线____x2______对称

②从“数”的角度，发现f(1)__f(3)________ f(0)__f(4)________ f(2)_f(6)________ ........

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f(x)__f(4x)________

进一步，f(1x)_f(3x)_________

f(2x)__f(2x)________

【小结2】图象对称轴为_x2_时，有_f(x)f(4x)__、_f(2x)f(2x)__成立

【思考】如果对于其他任意的对称轴，还能得到怎样的等式？

【设计意图】

从对称轴x0平移到x2，提高难度，引导学生观察思考变化，进一步自己探索对称轴再平移到x1乃至任意对称轴时的函数对称式。引导时括号内的变量注意从点关于点的对称点（中点公式）入手，即联系了刚上课时复习的旧知，又易于学生理解。

2、若函数yf(x)的图象关于直线x1对称，可以得到怎样的等式？

f(x)__f(2x)_______ 进一步有，f(1x)_f(1x)______

【小结3】图象对称轴为___x1____时，有_f(x)f(2x)___、__f(1x)f(1x)______成立

【猜想】

由“小结2：图象对称轴为x2时，有f(x)f(4x)、f(2x)f(2x)成立

小结3：“图象对称轴为x1时，有f(x)f(2x)、f(1x)f(1x)成立”

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我们可以猜想，若yf(x)图象关于直线xa对称f(x)_f(2ax)_________f(ax)_f(ax)_________

【证

明】以上猜想“若yf(x)图象关于直线xa对称f(x)f(2ax)”必须经过严格的证明，你能否证明出来？

证：（）如图，在yf(x)图象上任取一点P,坐标为P(x0,f(x0))

''

若yf(x)图象关于直线xa对称，则P关于xa对称的点记为P,显然P落在图象上，且P的坐标为_P'(2ax0,f(2ax0))________，

则有___f(x0)f(2ax0)__，

即_f(x)f(2ax)______________成立。

（）如图，在yf(x)图象上任取一点P,坐标为'P(x0,f(x0))

若点P关于直线xa对称的点记为P，则P的坐标为_P'(2ax0,f(2ax0))__，

''

又因为f(x0)f(2ax0)，得到点P也落在yf(x)图象上

'

则若yf(x)图象关于直线xa对称

【形成结论】

若yf(x)图象关于直线xa对称

f(x)_f(2ax)______ f(ax)_f(ax)______

特别地，当a0，函数yf(x)图象关于直线xa对称_f(x)f(x)__________

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【思考】若函数yf(x)满足f(ax)f(bx)，则函数图象关于__x称

ab_____对2【练习】

1、设函数yf(x)的定义域为R，且满足f(x1)f(1x)，则yf(x)的图象关于__x0_______对称。

2、设函数yf(x)的定义域为R，且满足f(x1)f(1x)，则yf(x)的图象关于__x1_______对称，且yf(x1)的图象关于__x0________对称。

【设计意图】

加强学生对结论的理解，并能初步运用．

二、点对称性

【类比探究】

1、如图为一奇函数的图象，对于该图象，我们分别从“形”和“数”两方面分析：

①从“形”的角度看，yf(x)的图象关于_（0,0）__中心对称

②从“数”的角度，有f(x)__f(x)_________，可变形为__f(x)f(x)0____________

2、若图象向右平移a个单位，依然从“形”和“数”两方面分析：

①从“形”的角度看，yf(x)的图象关于__(a,0)________中心对称

②从“数”的角度，有f(x)__f(2ax)_________，可变形为____f(x)f(2ax)0__________

进一步有，f(ax)__f(ax)___，可变形为_f(ax)f(ax)0____

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3、若图象从第2题的图向上平移了b个单位，此时从“形”和“数”两方面分析：

①从“形”的角度看，yf(x)的图象关于_(a,b)_________中心对称

②从“数”的角度，有f(x)f(2ax)2b，即f(x)2bf(2ax)___________，可变形为__f(x)f(2ax)2b____________

进一步有，f(ax)f(ax)2b，即f(ax)2bf(ax)______________，可变形为__f(ax)f(ax)2b____________

【形成结论】

1、若f(x)的图象关于(0,0)对称，则f(x)_f(x)____________，

2、若f(x)的图象关于(a,0)对称，则f(x)_f(2ax)__，f(ax)

_f(ax)__ 3、若f(x)的图象关于(a,b)对称，则f(x)__2bf(2ax)____，f(ax)__2bf(ax)_________

【思考】

1、若函数yf(x)满足f(ax)f(bx)0,则函数图象关于_点(ab2,0)___对称

2、若函数yf(x)满足f(ax)f(bx)2c，则函数图象关于__点(ab2,c)___对称

（三）总结归纳，布置作业

1、知识方面：

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函数图象的对称性

对称关系式

yf(x)图象关于xa对称

1、f(x)f(2ax)

2、f(ax)f(ax)

yf(x)图象关于(a,0)中心对称

1、f(x)f(2ax)

2、f(ax)f(ax)

yf(x)图象关于(a,b)中心对称

1、f(x)f(2ax)2b

2、f(ax)f(ax)2b

2、方法方面：（1）数形结合

（2）由特殊到一般

（3）类比思想

3、作业：

（1）已知函数f(x)x2axb2b1(a,bR)对任意实数x都有f(1x)f(1x)成立，若当x[1,1]时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是（

）

A.

1b0

B.b2

C.b1或b2

D.不能确定

3f(x)(xa)（2）已知函数对任意x有f(4x)f(x)，则f(1)f(5)_______ 3f(x)(xa)（3）已知函数对任意x有f(1x)f(1x),则f(2)f(2)______

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