信息技术应用 借助信息技术方程的近似解教案和课堂实录

方程的根与函数的零点

迪庆州民族中学 项永香

一、

教材分析

本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修一第三章第一节——第一课时方程的根与函数的零点，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点的存在性定理，是一节概念课。函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程邮寄的联系在一起，本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的学习垫底基础。

二、

教学目标

（一）三维目标：

1、

知识和技能目标：理解函数零点的概念；领会函数零点与相应方程根之间的关系；掌握零点存在的判断条件。

2、

过程与方法：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现函数零点存在的条件；在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想. 3、情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数形结合思想，培养学生的辨证思维能力，以及分析问题解决问题的能力．

（二）重难点：

1、教学重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系

2、教学难点：零点存在性的判定条件。

三、

教学手段

PPT，黑板，粉笔

四、

教法学法

在教法上，本节课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问—探索—归纳—定论”层层递进的方式来突破本科的重难点。我是采用多媒体课件，多媒体投影仪相结合，它既便于学生直观，节约时间，又能利用情境因早课堂氛围，引发学生的兴趣。

五、

教学过程

（一）回顾旧知，发现问题

问题1

求下列方程的根．

（1）3x20；

（2）x5x60；

（3）lnx2x60. 2

问题2 观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标

方 程

函 数

x22x30

x22x10

x22x30

yx22x3

yx22x1

yx22x3

函 数

图 象

（简图）

方程的实数根

函数的图象与轴的交点

提出疑问：方程的根与函数图象与x轴交点的横坐标之间有什么关系？

结论：方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标。

问题3

若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程ax2bxc0(a0)及相应的二次函数yaxbxc(a0)的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？

2ax2bxc0

(a0)

方

程

的

根

函数的图象

（简图）

图象与x轴

的交点

0

0

0

【设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.为引出函数零点的概念做准备。】

（二）总结归纳，形成概念

1、函数的零点：对于函数yf(x)我们把使方程f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的

零点。

问：零点是一个点吗？

求下列函数的零点。

(1)f(x)lg(x1)

（2）f(x)x25x6

小结：求函数零点的步骤：

2、你能说说方程的根、函数图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？等价关系：方程f(x)0有实数根

函数yf(x)的图象与x轴有交点

函数yf(x)有零点

【设计意图：引导学生给出函数零点的定义，并引导学生仔细体会这段文字，感悟其中的思想方法；通过引导，学生自己归纳出三者之间的关系，并且明确提出转化思想。】

【设计意图：进一步理解零点的概念，灵活运用三者之间的关系。】

（四）分组讨论，探究结论（零点存在性）

问题4：1、求函数f(x)lnx2x6的零点。

2、判断函数f(x)lnx2x6有没有零点？

【设计意图：由学生思考，产生认知冲突，从而激发学生的求知欲。】

思考：

函数yf(x)在某个区间上是否一定有零点？【铺设台阶，引出本节课的主要问题.】

怎样的条件下，函数yf(x)一定有零点？

问题5：（1）观察二次函数f(x)x2x3的图象：

1 在区间[2,1]上有零点______；f(2)_______，f(1)_______, 2f(2)·f(1)_____0（＜或＞）．

2 在区间[2,4]上有零点______；f(2)·f(4)____0（＜或＞）．

思考：根据以上探索，你能得出什么结论？

结论：函数在区间端点处函数值乘积小于0，函数在该区间上有零点. 这个结论推广到一般情况下还成立吗？

（2）观察下面函数yf(x)的图象

1在区间[a,b]上______(有/无)零点；f(a)·f(b)_____0（＜或＞）．

2在区间[b,c]上______(有/无)零点；f(b)·f(c)_____0（＜或＞）．

3在区间[c,d]上______(有/无)零点；f(c)·f(d)_____0（＜或＞）．

（3）观察屏幕上的函数图象：

若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是

（间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是

（相同／互异）

零点存在定理：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间内有零点，即存在c，使得（a,b）（a,b）f(c)0.这个c也就是方程f(x)0的根。

讨论：零点个数一定是一个吗？

逆定理成立吗？试结合图形来分析.

【设计意图：先从一个已研究过的、简单的函数入手，引导学生结合函数图象，通过计算、观察、比较得出函数在区间端点处函数值乘积的情况与函数在该区间内是否存在零点之间有什么关系。总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析。】

（五）观察感知，例题学习

例2（教材第96页）求函数f(x)lnx2x6

的零点个数

（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

解：用计算机或计算器作出x、

f(x)对应值表

x

…

1 2 3 4 …

f(x) …

-4 -1.306 1.0986 3.3863 …

画出函数的图象，从列表和图象可看出f(2)0,f(3)0，即f(2)f(3)0,所以函数在内有零点。又由于函数在整个定义域内是增函数，故只有一个

（2,3）思考：①你能给出这个函数是增函数的证明吗？不用计算机或计算器，你能估算出f(2)0,f(3)0，吗？②*作出函数ylnx与y62x的图象，观察两函数图象交点的横坐标与方程lnx2x60的根的关系.

【设计意图：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．】

练习：1.下列函数是否存在零点，若存在，求出，否则说明理由

1）.yx3x(x0)

2）.ylnx1

3）.y2x3

2、下列方程有无实根，若有，有几个？

（1）-x3x50； （2）2x(x2)3；

（3）x4x4； （4）5x2x3x5．

小结：函数零点的求法. ①

代数法：求方程f(x)0的实数根；

②

几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

（六）反思小结,提升能力

1．函数零点的定义

2．等价关系

函数yf(x)的零点

函数yf(x)的图象与X轴交点的横坐标

2222 方程f(x)0实数根

3．函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断

八、板书设计

方程的根与函数的零点

函数的零点：

等价关系：

零点存在定理：

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