小结优质课一等奖教案

函数与方程小结

考纲要求

结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数.

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)，我们把使__f(x)＝0__成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)三个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x轴__有交点⇔函数y＝f(x)有__零点__. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__f(a)·f(b)<0__，那么函数y＝f(x)在区间__(a，b)__内有零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个__c__也就是f(x)＝0的根．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

与x轴的交点

零点个数

3．二分法

(1)二分法的定义

对于在区间[a，b]上连续不断且__f(a)·f(b)<0__的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__一分为二__，使区间的两个端点逐步逼近__零点__，进而得到零点近似值(x1,0)，(x2,0)

__两个__

(x1,0)

__一个__

无交点

零个

Δ>0

Δ＝0

Δ<0 考情分析

2017·全国卷Ⅱ，12 2017·江苏卷，14 2016·山东卷，15 2016·浙江卷，2 分值：5～8分

命题趋势

函数的零点及其应用问题是热点，经常考查函数零点存在的区间、零点个数的判断和利用函数的零点个数求参数的范围等内容，难度不大．

的方法叫做二分法．

(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤

第一步，确定区间[a，b]，验证__f(a)·f(b)<0__，给定精确度ε. 第二步，求区间(a，b)的中点x1. 第三步，计算f(x1)：

①若__f(x1)＝0__，则x1就是函数的零点；

②若__f(a)·f(x1)<0__，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；

③若__f(x1)·f(b)<0__，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．

第四步，判断是否达到精确度ε，即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)．否则重复第二、第三、第四步．

4．有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．

(1)函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．(

×

) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0.(

×

) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．

(

√

) (4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(

√

) 解析

(1)错误．函数f(x)＝x2－1的零点为－1和1，而并非其与x轴的交点(－1,0)与(1,0)．

(2)错误．函数f(x)＝x2－x在(－1,2)上有两个零点，但f(－1)·f(2)>0. (3)正确．当b2－4ac<0时，二次函数图象与x轴无交点，从而二次函数没有零点．

(4)正确．由已知条件，数形结合得f(x)与x轴在区间[a，b]上有且仅有一个交点，故正确．

2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(

C

) A．0,2

1C．0，－

21B．0，

21D．2，－

2解析

∵2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．

1∴零点为0和－. 23．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(

B

)

A．0

C．2

B．1

D．3 解析

函数f(x)＝2x＋x3－2显然是一个单调递增且是连续的函数，同时f(0)·f(1)＝(－1)×1＝－1<0.由函数零点存在性定理可知，函数在(0,1)内必存在唯一一个零点．故选B．

4．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(

C

) x ex

x＋2

A．(－1,0)

C．(1,2)

B．(0,1)

D．(2,3) －1

0.37

1

0

1

2

1

2.72

3

2

7.39

4

3 20.09 5 解析

设函数f(x)＝ex－x－2，从表中可以看出f(1)·f(2)<0，因此方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．

5．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，2＋4取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈__(2,3)__(填区间)．

2解析

由f(2)·f(3)<0，可知x0∈(2,3)．

一

函数零点所在区间的判断

判断函数零点所在区间的方法

(1)当能直接求出零点时，就直接求出进行判断．

(2)当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断．

(3)当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．

【例1】

(1)函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在区间是(

C

) 11A．4，2

C．(1,2)

1B．2，1

D．(2,3) (2)若a

A

) A．(a，b)和(b，c)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内

B．(－∞，a)和(a，b)内

D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

111131＝1－1log21＝1＋1＝3>0，f(1)＝1－0>0，解析

(1)f＝1－log＝1＋＝>0，f24244222222

f(2)＝1－2log22＝－1<0，由f(1)·f(2)<0知C项正确．

(2)易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)·(c－b)．又a0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且开口向上，可知两根分别在(a，b)和(b，c)内．

二

函数零点个数的判断

函数零点个数的判断方法

(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

【例2】

(1)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的零点个数是(

C

) A．2

C．4

B．3

D．多于4 (2)(2018·江苏镇江月考)方程ex·ln x＝1(其中e为自然对数的底数)解的个数为__1__. 解析

(1)由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)是周期为2的周期函数，且是偶函数，在同一坐标系中画出y＝log3|x|和y＝f(x)，x∈[－3,3]的图象，如图所示，由图可知零点个数为4.

1x1x的图象(图略)，两个函数图(2)把方程化为ln x＝，分别画出函数y＝ln x和y＝ee象只有一个交点，所以方程只有一解．

三

函数零点的应用

函数零点应用问题的常见类型及解题策略

(1)已知函数零点求参数．根据函数零点或方程的根求解参数应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．

(2)已知函数零点个数求参数．解答此类问题常利用数形结合法．

(3)借助函数零点比较大小．要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)，f(b)与0的大小．

【例3】

(1)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是(

B

) 1，＋∞

A．51－1，

C．51，＋∞

B．(－∞，－1)∪5D．(－∞，－1) x2－1，x≤1，(2)已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(x)－a2＋a＋1(a∈R)总有零点时，ax－1，x>1，

的取值范围是(

A

) A．(－∞，0)∪(1，＋∞)

C．[－1,0]∪(1,2]

B．[－1,2) D．[0,1]

解析

(1)要使函数在(－1,1)上存在一个零点，则有f(－1)·f(1)<0，即(－5a＋1)(a＋1)<0，1所以(5a－1)(a＋1)>0，解得a>或a<－1.故选B．

5(2)由F(x)＝0，得f(x)＝a2－a－1，因为函数f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a2－a－1>－1，解得a<0或a>1.故选A．

21．函数f(x)＝ln(x＋1)－的一个零点所在的区间是(

B

) xA．(0,1)

C．(2,3)

B．(1,2)

D．(3,4) 解析

因为f(1)＝ln 2－2<0，f(2)＝ln 3－1>0，所以f(x)在(1,2)上必存在零点．故选B．

2．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(

B

) A．1

C．3

B．2

D．4 1x解析

在同一坐标系中作出y＝由图可得零点的个数为2与y＝|log0.5x|的图象(图略)，2. 3．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－A．a

C．c

1的零点依次为a，b，c，则(

A

) xB．c

D．b

1的图象，如图，观察它x解析

在同一坐标系中分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－们与直线y＝－x的交点可知a

4．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则实数a的取10，__. 值范围是__2解析

当a>1时，作出函数y＝|ax－1|的图象如图(1)，此时y＝2a>2，只有一个交点，不成立．当0

1此时0<2a<2，要使两个函数的图象有两个公共点，则有0<2a<1，即0

易错点

不会借助图象解决方程根的范围或根的个数问题

错因分析：涉及方程根的有关问题时不能熟练应用函数图象来解决问题．

0，x＝0，【例1】

已知函数f(x)＝1则关于x的方程[f(x)]2＋bf(x)＋c＝0有5个x＋x，x≠0，不同实数根的充要条件是(

) A．b<－2，且c>0

C．b<－2，且c＝0

B．b>－2，且c<0 D．b≥－2，且c＝0

解析

令f(x)＝t，则方程为t2＋bt＋c＝0. 设t1，t2为它的两个根，则f(x)＝t1和f(x)＝t2共有5个不同实根，y＝f(x)的图象如图所示，则t1>2，t2＝0，∴c＝0.

由t2＋bt＝t(t＋b)＝0，得t1＝－b>2，∴b<－2.故选C．

答案

C |x|，x≤m，【跟踪训练1】

(2016·山东卷)已知函数f(x)＝2

其中m>0.若存x－2mx＋4m，x>m，

在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是__(3，＋∞)__. 解析

f(x)的图象如图所示．

若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，只需4m－m23或m<0，又m>0，所以m>3.