小结教案和学案内容

第1讲

函数的概念

第一部分

知识点梳理

1、函数的定义

函数：设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应关系f，使_对于集合A中的任意一个数X在集合B中有唯一确定的数f(x)和它对应_______________，那么就称______f__为从集合A到集合B的一个函数，记作________，________其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做__函数的定义域______；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)xA叫做___值域_____。

2、函数的三要素：__定义域A______、__对应法则F______和______值域__为函数的三要素。

3、求函数的定义域

（1）当函数是以解析式形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合；

①负数不能为偶次方根；

②分母不能为零；

③函数本身的要求；

④有限个函数的四则运算得到的新函数，它的定义域是这有限个函数的定义域的交集。

（2）当函数是以实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。

4、求函数的解析式的常用方法

由具体的实际问题建立函数关系求解析式，一般是通过研究自变量、函数及其他量之间的等量关系，将函数用自变量和其他量的关系表示出，但不要忘记确定自变量的取值范围。

求函数解析式的常用方法有：

（1）由实际问题建立函数关系式。

（2）待定系数法，适用于特征已明确的函数。

（3）换元法，已知fg(x)h(x)，求f(x)，设g(x)t可解出x代入h(x)。

（4）构造方程法。

（5）代入法，复合函数解析式常用此法。

5、分段函数

当自变量x在不同的取值区间（范围）内取值时，函数的对应法则也不同的函数为分段函数。

第二部分

金题精讲

一、求函数的定义域

典例1 求下列函数的定义域

3x4x8（1）y2；（2）y

2x3x23x2

总结与启迪：求函数的定义域一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间表示

变式题1 函数yx(x1)x的定义域为（

）

A.xx0

B.xx1

C.xx10

D.x0x1

二、求复合函数的定义域

典例2 设yf(x)的定义域是0,2，求下列函数的定义域。

（1）f(x3)；

总结与启迪：根据“若f(x)的定义域为a,b，则fg(x)的定义域为ag(x)b的解集”来解相应的不等式（或不等式组）。

变式题2 已知f(x1)的定义域为0,3，求f(x)的定义域。

三、求函数的值域

典例3 求下列函数的值域

（图像的作用，图像的复合、叠加、移动）

（1）y3x1,x,1；

（2）yx1；

（3）yx2x1；

（4）x2y2；

x1

总结与启迪：利用熟知的基本函数的值域，通过对表达于简单的变形和观察求出函数的值域。

变式题3 求函数y54xx2的值域

四、函数图象的应用

典例4 若xR,f(x)是y2x2,yx这两个函数的较小者，则f(x)的最大值为（

）

A.

2

B.

1

C.

-1

D.无最大值

总结与启迪：函数图象可以形象地反映函数的性质，通过观察图象可以确定图象的变化趋势、对称性、分布情况等，应用函数图象解题体现了数形结合的思想方法。

变式题4 下图所表示的解析式为（

）

3x1,(0x2)

233B.yx1,(0x2)

223C.yx1,(0x2)

2A.yy32OD.y1x1,(0x2)

五、求函数的解析式

典例5 求函数的解析式

12x已知f(x1)x2x，求f(x)。

总结与启迪：换元法（或配凑法）是求函数解析式的重要方法，若不清楚函数类型，比如已知fg(x)的解析式，求f(x)的解析式，可采用配凑法或换元法，配凑法是将fg(x)的右端的代数式配凑成关于g(x)

的形式，进而求出f(x)的解析式；换元法可今g(x)t，解出x，即用t表示x，然后代入fg(x)中即可求得f(t)，从而求得f(x)。

变式题5 已知f(x2)x23x1，求f(x)。

六、分段函数求值域

典例8 设定义在正整数集上的函数f(x)满足n13(n2000,nN)f(n)，试求f(2009)的值。

ff(n18)(n2000,nN)

总结与启迪：求分段函数的函数值要注意自变量所在的范围及其对应的解析式，有时需要反复利用对应关系才能求出函数值。

n3(n10)f(n)变式题8 已知且nN，则f(5)的值是（

）

ff(n5)(n10)A.

7

B.

8

C.

9

D.10

七、分段函数的图象

x2(1x1)典例9 已知f(x)

1(x1或x1)（1）画出f(x)的图象；

（2）求f(x)的定义域和值域；

总结与启迪：研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，

尤其是在作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，再将它们连在一起得到整个函数的图象。

变式题9 求下列函数的图象及值域：

1(0x1)（1）f(x)

（2）yx1x2

xx(x1)

课后自测

1、（1）若f(x)的定义域为0，3，求f(x1)的定义域。



（2）若f(x1)的定义域为3，3，求f(x)的定义域。

2、求下列函数的解析式

（1）已知f(x)x21x11，求f(x)。

2x（2）已知f(x)是二次函数，且满足f(0)1，f(x1)f(x)2x，求f(x)的解析式。

第2讲

函数的基本性质

第一部分

知识点梳理

1、函数的单调性：

函数单调性的定义：设函数f(x)的定义域I，如果x1,x2I

（1）若当x1x2时，都有_________，则称f(x)在这个区间上是_____函数；

（2）若当x1x2时，都有_________，则称f(x)在这个区间上是_____函数；

函数单调区间：

若函数yf(x)在某个区间是_______，则就说函数yf(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫作函数yf(x)的_________。此时也说函数f(x)是这一区间上的单调函数。

2、函数单调性的判断

（1）图象法

即先作出函数的_________，根据_________来判断。这种方法适用于图象容易作出的函数。

（2）定义法

定义法是证明函数单调性最基本、最重要的方法，其步骤是：

第一步：取值。即设x1,x2是该区间内的任意两个值，且x1x2。

第二步：作差。准确作出差值：f(x1)f(x2)（或f(x2)f(x1)）

第三步：变形。通过因式分解、配方、分子（分母）有理化等方法，有利于判断差的符号的方向。

第四步：定号。确定f(x1)f(x2)（或f(x2)f(x1)）的符号，当符号直接确定时，可以进行分类讨论、等价转化，然后作差、作商等思路进行。

第五步：判断。根据定义作出判断。

（3）直接法

运用已知的结论，直接得到函数的单调性。如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出。

了解以下一些结论，对于直接判断函数的单调性有好处：

①函数yf(x)与函数yf(x)的单调性相反。

②函数f(x)与f(x)c（c为常数）具有相同的单调性。

③当c0时，函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性；当c0时，它们具有相反的单调性；

④若f(x)0，则函数f(x)与1具有相反的单调性

f(x)⑤若f(x)0，则函数f(x)与f(x)具有相同的单调性

⑥对于函数f(x)g(x)可以总结为：增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减。

⑦当函数f(x)与g(x)的单调性相同时，复合函数yfg(x)是增函数；

当函数f(x)与g(x)的单调性相异时，复合函数yfg(x)是减函数；

简称为口诀“同增异减”

3、函数的最值

设函数yf(x)的定义域I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意xI___y<=M_____；

（2）存在_x属于I__，使y=M_________ （1）对于任意xI，都有_________；

（2）存在_________，使_________

4、函数的奇偶性

（1）函数奇偶性的定义：对于函数f(x),其定义域D关于原点对称：

如果xD，恒有________________，那么函数f(x)为奇函数。

特别地，如果f(x)的定义域包含0，则f(0)0。

如果xD，恒有________________，那么函数f(x)为偶函数。

（2）奇偶函数的图象特征：

函数f(x)是奇函数yf(x)的象关于__________对称；

函数f(x)是偶函数yf(x)的象关于__________对称；

5、函数的周期性：

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有________________，那么函数f(x)就叫周期函数，T是周期。

第二部分

金题精讲

一、判断或证明函数的单调性

典例1 证明函数yx在0,3上递减。

总结与启迪：函数的单调性的判断或证明是最基本的题型，最基本的方法是定义法，整个过程可分为五个步骤，简记为“取值－作差－变形－定号－判断”。

变式题1 证明函数f(x)x31在,上是减函数。

9x，都有M是函数yf(x)的最大值

M是函数yf(x)的最小值

二、求函数的单调区间

典例2 求函数f(x)294x2的单调区间。

变式题2 求下列函数的单调区间：

yx22x

三、利用单调性求参数的取值范围

典例3 已知f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x2)f(1x)，求x的取值范围。

总结与启迪：（1）解决这类与抽象函数有关变量的取值范围问题，关键在于将不等式两边化成函数值的形式，然后利用函数的单调性“脱去”函数记号，从而转化为熟悉的不等式。（2）注意考虑函数f(x)的定义域，即x2,1x必须在定义域内。

变式题3 已知函数f(x)x22(a1)x2在区间,4上是减函数，求实数a的取值范围。

四、由函数图象求最值。

x2x(0x2)典例4 已知函数f(x)，求f(x)的最大值、最小值。

2x1

总结与启迪：分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者，最小值为各段上最小者，故求分段函数的最大值或最小值，就先求各段上的最值，再比较即得函数的最大、最小值。当易作出分段函数的图象时，可观察的最高点与最低点，并求其纵坐标即得函数的最大值与最小值。

变式题4 试求函数yx1(x2)2的最值。

五、由函数的单调性求最值

典例5 求下列函数的最大值和最小值

（1）y432xx2；

（2）yx12x；

总结与启迪：（1）若函数在闭区间a,b上是减函数，则f(x)在a,b上的最大值为f(a)，最小值为f(b)。（2）若函数在闭区间a,b上是增函数，则f(x)在a,b上的最大值为f(b)，最小值为f(a)。

变式题5 求函数f(x)x在x1,2上的最值。

六、求二次函数的最值

典例6 求二次函数f(x)x22x3在下列区间上的最小值。

（1）3,0 （2）1,2

4x

总结与启迪：求二次函数f(x)在某区间m,n上的最值的关键是判断函数图象的对称轴与区间m,n的位置关系。

变式题6 求函数f(x)x24x3在3,4上的最值。

七、判断函数的奇偶性

1x2典例7 试确定函数f(x)的奇偶性。

x22

总结与启迪：（1）定义是判断或讨论函数奇偶性的依据。（2）定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称，换言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数是非奇非偶函数。例如，函数yx2在区间,上是偶函数，但在区间1,2上却是非奇非偶函数。

变式题7 判断下列函数的奇偶性

2x22x（1）f(x)xx； （2）f(x)；

x135（3）f(x)1x2x21 （4）f(x)5

八、判断分段函数的奇偶性

典例8 判断下列函数的奇偶性

2x2x3,x0f(x)2

x2x3,x0

总结与启迪：对于分段函数的奇偶性的判断，要特别注意与x所满

足对应关系。

2x10x21,x5,2变式题8 判断函数f(x)2的奇偶性。

x10x21,x2,5

九、抽象函数奇偶性的证明

典例9 已知函数f(x)在11，上有定义，当且仅当0x1时，f(x)0，且对任意x,y1,1都有f(x)f(y)f(（1）f(x)为奇函数；

（2）f(x)在11，上单调递减。

总结与启迪：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力。对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得。

变式题9 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a,bR都满足f(ab)af(b)bf(a).

xy).试证明：

1xy（1）求f(0)，f(1)的值；

（2）证明f(x)为奇函数。

十、利用函数的奇偶性求函数解析式

典例10 f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，求函数f(x)的解析式。

总结与启迪：解答该类问题的思路是：

（1）“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内。

（2）要利用已知区间的解析式进行代入。

（3）利用函数f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x)。

注意，若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数时，则必有f(x)0，但若为偶函数，未必f(0)0。

变式题10 已知f(x)是R上的奇函数，当x,时，f(x)x(1x)，求函数f(x)的解析式。

十一、函数的奇偶性与单调性的综合应用

典例11 定义在2,2上的偶函数f(x)，当x0时单调递减，设f(1x)f(m)，求m的取值范围。

总结与启迪：本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式（组）。解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的不等式”。

变式题11 设f(x)在R上是偶函数，在区间,0上递增，且有f(2a2a1)f(2a22a3)，求a的取值范围。