习题2.3教学实录

第二章

2.3

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列结论中，正确的是(

) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限

1C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数

2D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数

解析：

当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；

因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；

当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故选项D不正确．

答案：

C 2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是(

) 12A．y＝x

B．y＝x4

13D．y＝x

C．y＝x2

－12解析：

函数y＝x

定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故A不正确；

函数y＝x4是过点(0,0)，(1,1)的偶函数，

故B正确；

函数y＝x－2不过点(0,0)，故C不正确；

13函数y＝x

是奇函数，故D不正确．

答案：

B 3311414123．设a＝

，b＝

，c＝

，则(

) 252A．a

C．b

34解析：

由y＝x

是[0，＋∞)上的增函数，

B．c

D．b

331414∴

<

，

521x由y＝2是R上的减函数，

1412∴2

<2

.∴b

D 4．已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为(

) 31

A．c

B．a

C．b

D．c

解析：

由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0. 由幂函数的性质知，当x>1时，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b. 综上所述，可知c

A 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．

解析：

∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，

∴m2－1<0，解得－1

∵图象关于原点对称，且m∈Z，

∴m＝0，∴f(x)＝x1. －答案：

f(x)＝x1

－6．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：

x f(x)

则不等式f(|x|)≤2的解集是________．

21α12解析：

由表中数据知＝，∴α＝，∴f(x)＝x

，

22211

1

1

22

2

1∴|x|2≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4. 答案：

{x|－4≤x≤4} 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．已知幂函数f(x)＝x函数f(x)的解析式．

解析：

∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，－1

(2)用定义证明f(x)在区间(0，＋∞)内的单调性．

1，2，

解析：

(1)∵f(x)＝xa的图象经过点A21a∴2＝2，

11－2即2a＝2

，∴a＝－. －m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．求2(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1

11－2－2则f(x2)－f(x1)＝x2

－x1

＝＝x1－x211－＝

x2x1x1x2x1－x2. x1x2·x1＋x2∵x2>x1>0，∴x1－x2<0，

且x1x2·(x1＋x2)>0，

于是f(x2)－f(x1)<0，

即f(x2)

(10分)已知幂函数f(x)＝

(m∈N*)．

－1(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若函数还经过(2，2)，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．

解析：

(1)∵m∈N*，

∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数．

12k令m2＋m＝2k，k∈N*，则f(x)＝x＝x，

2k∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数．

(2)∵2＝，∴m2＋m＝2，

解得m＝1或m＝－2(舍去)，

132∴f(x)＝x

，令2－a>a－1≥0，可得1≤a<. 2