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3.2.1 函数模型及其应用

课堂导学

三点剖析

一、常见函数模型

【例1】 (一次函数模型)某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个定价5元,该店推出两种优惠办法: (1)买一个茶壶赠送一个茶杯; (2)按总价的92%付款. 某顾客需购茶壶4个,茶杯若干(不少于4个),若需茶杯x个,付款数为y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x的函数关系,并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算. 思路分析:本题考查的是建立一次函数模型,并应用一次函数模型解决实际问题的能力.第一种优惠方法中,实际付款是4个茶壶的钱和(x-4)个茶杯的钱.第二种优惠方法只需将货款总数乘以92%,而后再作差比较二者的大小即可. 解:由优惠办法(1)可得函数关系式:y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4), 由优惠办法(2)可得函数关系式: y2=(5x+4×20)×92%=4.6x+73.6. 比较:y1-y2=0.4x-13.6(x≥4). ①当0.4x-13.6＞0,即x＞34时,y1＞y2, 即当购买茶杯个数大于34时,优惠办法(2)合算. ②当0.4x-13.6=0,即x=34时,两种优惠办法一样合算. ③当0.4x-13.6＜0,即4≤x＜34时,y1＜y2.优惠办法(1)合算. 温馨提示

1.建立函数模型后,如果结论不能确定,应注意对其进行分类讨论. 2.用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模.函数模型是应用最广泛的数学模型之一.许多实际问题一旦认定是函数关系，就可以通过研究函数的性质把握问题并解决问题.读题是解决实际问题的重要环节.一般的实际问题的叙述都比较长，需要逐字逐句地把问题看懂，这是建立数学模型的前提. 二、利用函数模型分析问题

【例2】 (指数函数模型)按复利计算利息的一种储蓄,设本金为a元,每期利率为r,存期为x,写出本金和利息总和y(元)与x的函数表达式.如果存入本金10 000元,每期1.98%,试计算5期后,本息总和是多少? 思路分析:本题考查的是与我们生活中息息相关的储蓄问题,其数学模型是指数函数.由题意知,每期到期后,其本利总和是前一期的(1+r)倍,所以可从第一期开始以此类推. 解:∵本金为a元, ∴1期后本息和为a+ar=a(1+r); 2 2期后本息和为a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r); 223 3期后本息和为a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r); ……

x x期后本息和为y=a(1+r). 将a=10 000,x=5,r=1.98%代入上式得，

5 y=10 000(1+1.98%)=11 029.99(元). 温馨提示

在实际问题中,常遇到有关平均增长率的问题,若基数为a,平均增长率为p,则总量y与“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

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时间x的关系式为y=a(1+p),此为指数型函数. 各个击破

类题演练1

(二次函数模型)某旅店有客房300间,每间日房租为20元,每天客满.旅店欲提高档次,并提高租金,如果每间客房每日增加2元,客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素,旅店将租金定为多少时,每天客房的总收入最高? 解析：设定租金x元，总收入最高，则总收入y=x(300-xx202×10)=-5［(x-40)-1 600］，

2 当x=40时，y最大且最大值为5×1 600=8 000(元). 答案：40元

变式提升1

某工厂生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R（总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元）是年产量（单位：件）的函数.满足关系式：

12400QQ,0Q400,R=f(Q)=

2,Q400.80000（1）将总利润L（单位：元）表示为Q 的函数; （2）求每生产多少件产品时、总利润最大？此时总利润是多少？

解析：（1）根据题意，总成本应为C=g(Q)=20 000+100Q, 从而可得总利润函数为L=φ(Q)= 12400QQ(20000100Q),0Q400, 

2Q400,80000(20000100Q),12,0Q400,Q300Q20000 即L=2

Q400.60000100Q, （2）当0≤Q≤400时, L=-1122（Q-300）-20 000+45 000=-（Q-300）+25 000. 22 此时当Q=300时，L最大=25 000；

当Q＞400时，L=60 000-100Q＜60 000-100×400=20 000＜25 000；

所以，当Q=300时，L最大=25 000. 答：每年生产300件产品时，总利润最大，最大利润为25 000元. 类题演练2

某企业计划发行企业债券，每张债券现值500元，按年利率6.5%的复利计息，问多少年后每张债券一次偿还本利和1 000元？（参考lg2=0.301 0,lg1.065=0.027 4）. n解析：设n年后每张债券一次偿还本利和1 000元，由1 000=500（1+6.5%），解得n=lg2/lg1.065≈11. 答：11年后每张债券应一次偿还本利和1 000元. 变式提升2

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某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%,试解答下列问题：

（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系；

（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）. 解析：（1）1年后该城市人口总数为

y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%). 2年后该城市人口总数为

2 y=100×（1+1.2%）+100×（1+1.2%）×1.2%=100×（1+1.2%）. 3年后该城市人口总数为

223 y=100×（1+1.2%）+100×（1+1.2%）×1.2%=100×（1+1.2%）. ……

x年后该城市人口总数为

x y=100×（1+1.2%）. （2）10年后该城市人口总数为

10 100×（1+1.2%）≈112.7（万人）.

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